第 3858 題：精確矩積分減左端有限和

原題與已知條件

全實數論域；升冪係數的受限多項式模型。f(x)=-8x+(-5)，其升冪係數=[-5, -8]；a=1、b=3，N=8等份左端和S_N。求 I(a,b)−S_N。

• G001 — 全實數論域；升冪係數的受限多項式模型。f(x)=-8x+(-5)，其升冪係數=[-5, -8]；a=1、b=3，N=8等份左端和S_N。求 I(a,b)−S_N。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-definite-integral

逐步推導

explicit real polynomial moment or constant integrand model

oriented I(a,b)=H(b)−H(a);do not sort endpoints

interval width := sub(3, 1)

interval width = 2

partition step := div(2, 8)

partition step = 1/4

left sample0 offset := mul(0, 1/4)

left sample0 offset = 0

left sample0 x := sum(1, 0)

left sample0 x = 1

left sample0 mx := mul(-8, 1)

left sample0 mx = -8

left sample0 value := sum(-8, -5)

left sample0 value = -13

left sample0 rectangle := mul(-13, 1/4)

left sample0 rectangle = -13/4

[1, -13, -13/4]

finite left-sum term index=0

left sample1 offset := mul(1, 1/4)

left sample1 offset = 1/4

left sample1 x := sum(1, 1/4)

left sample1 x = 5/4

left sample1 mx := mul(-8, 5/4)

left sample1 mx = -10

left sample1 value := sum(-10, -5)

left sample1 value = -15

left sample1 rectangle := mul(-15, 1/4)

left sample1 rectangle = -15/4

[5/4, -15, -15/4]

finite left-sum term index=1

left sample2 offset := mul(2, 1/4)

left sample2 offset = 1/2

left sample2 x := sum(1, 1/2)

left sample2 x = 3/2

left sample2 mx := mul(-8, 3/2)

left sample2 mx = -12

left sample2 value := sum(-12, -5)

left sample2 value = -17

left sample2 rectangle := mul(-17, 1/4)

left sample2 rectangle = -17/4

[3/2, -17, -17/4]

finite left-sum term index=2

left sample3 offset := mul(3, 1/4)

left sample3 offset = 3/4

left sample3 x := sum(1, 3/4)

left sample3 x = 7/4

left sample3 mx := mul(-8, 7/4)

left sample3 mx = -14

left sample3 value := sum(-14, -5)

left sample3 value = -19

left sample3 rectangle := mul(-19, 1/4)

left sample3 rectangle = -19/4

[7/4, -19, -19/4]

finite left-sum term index=3

left sample4 offset := mul(4, 1/4)

left sample4 offset = 1

left sample4 x := sum(1, 1)

left sample4 x = 2

left sample4 mx := mul(-8, 2)

left sample4 mx = -16

left sample4 value := sum(-16, -5)

left sample4 value = -21

left sample4 rectangle := mul(-21, 1/4)

left sample4 rectangle = -21/4

[2, -21, -21/4]

finite left-sum term index=4

left sample5 offset := mul(5, 1/4)

left sample5 offset = 5/4

left sample5 x := sum(1, 5/4)

left sample5 x = 9/4

left sample5 mx := mul(-8, 9/4)

left sample5 mx = -18

left sample5 value := sum(-18, -5)

left sample5 value = -23

left sample5 rectangle := mul(-23, 1/4)

left sample5 rectangle = -23/4

[9/4, -23, -23/4]

finite left-sum term index=5

left sample6 offset := mul(6, 1/4)

left sample6 offset = 3/2

left sample6 x := sum(1, 3/2)

left sample6 x = 5/2

left sample6 mx := mul(-8, 5/2)

left sample6 mx = -20

left sample6 value := sum(-20, -5)

left sample6 value = -25

left sample6 rectangle := mul(-25, 1/4)

left sample6 rectangle = -25/4

[5/2, -25, -25/4]

finite left-sum term index=6

left sample7 offset := mul(7, 1/4)

left sample7 offset = 7/4

left sample7 x := sum(1, 7/4)

left sample7 x = 11/4

left sample7 mx := mul(-8, 11/4)

left sample7 mx = -22

left sample7 value := sum(-22, -5)

left sample7 value = -27

left sample7 rectangle := mul(-27, 1/4)

left sample7 rectangle = -27/4

[11/4, -27, -27/4]

finite left-sum term index=7

finite left sum := sum(-13/4, -15/4, -17/4, -19/4, -21/4, -23/4, -25/4, -27/4)

finite left sum = -40

affine integral primitive coefficient1 := div(-5, 1)

affine integral primitive coefficient1 = -5

affine integral primitive coefficient2 := div(-8, 2)

affine integral primitive coefficient2 = -4

[0, -5, -4]

H′=the supplied polynomial;integrate from 1 to 3

affine integral H(b) ascending coefficients=[0, -5, -4]

evaluate at x=3

affine integral H(b) Horner multiply before degree1 := mul(-4, 3)

affine integral H(b) Horner multiply before degree1 = -12

affine integral H(b) Horner add degree1 := sum(-12, -5)

affine integral H(b) Horner add degree1 = -17

affine integral H(b) Horner multiply before degree0 := mul(-17, 3)

affine integral H(b) Horner multiply before degree0 = -51

affine integral H(b) Horner add degree0 := sum(-51, 0)

affine integral H(b) Horner add degree0 = -51

affine integral H(a) ascending coefficients=[0, -5, -4]

evaluate at x=1

affine integral H(a) Horner multiply before degree1 := mul(-4, 1)

affine integral H(a) Horner multiply before degree1 = -4

affine integral H(a) Horner add degree1 := sum(-4, -5)

affine integral H(a) Horner add degree1 = -9

affine integral H(a) Horner multiply before degree0 := mul(-9, 1)

affine integral H(a) Horner multiply before degree0 = -9

affine integral H(a) Horner add degree0 := sum(-9, 0)

affine integral H(a) Horner add degree0 = -9

affine integral oriented moment := sub(-51, -9)

affine integral oriented moment = -42

integral minus left sum := sub(-42, -40)

integral minus left sum = -2

I=-42;S_N=-40;N=8

signed finite-sum difference=-2

逐步反向核對

• S068 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S067 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 integral minus left sum，不以小數近似替代。
• S066 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral oriented moment，不以小數近似替代。
• S065 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral H(a) Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S064 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral H(a) Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S063 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral H(a) Horner add degree1，不以小數近似替代。
• S062 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral H(a) Horner multiply before degree1，不以小數近似替代。
• S061 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S060 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral H(b) Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S059 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral H(b) Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S058 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral H(b) Horner add degree1，不以小數近似替代。
• S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral H(b) Horner multiply before degree1，不以小數近似替代。
• S056 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S055 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S054 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral primitive coefficient2，不以小數近似替代。
• S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral primitive coefficient1，不以小數近似替代。
• S052 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 finite left sum，不以小數近似替代。
• S051 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample7 rectangle，不以小數近似替代。
• S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample7 value，不以小數近似替代。
• S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample7 mx，不以小數近似替代。
• S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample7 x，不以小數近似替代。
• S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample7 offset，不以小數近似替代。
• S045 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample6 rectangle，不以小數近似替代。
• S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample6 value，不以小數近似替代。
• S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample6 mx，不以小數近似替代。
• S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample6 x，不以小數近似替代。
• S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample6 offset，不以小數近似替代。
• S039 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample5 rectangle，不以小數近似替代。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample5 value，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample5 mx，不以小數近似替代。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample5 x，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample5 offset，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample4 rectangle，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample4 value，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample4 mx，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample4 x，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample4 offset，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample3 rectangle，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample3 value，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample3 mx，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample3 x，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample3 offset，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample2 rectangle，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample2 value，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample2 mx，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample2 x，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample2 offset，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample1 rectangle，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample1 value，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample1 mx，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample1 x，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample1 offset，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample0 rectangle，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample0 value，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample0 mx，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample0 x，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample0 offset，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 partition step，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 interval width，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

-2/1

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。