第 3861 題：精確矩積分減左端有限和

原題與已知條件

全實數論域；升冪係數的受限多項式模型。f(x)=11x+(-2)，其升冪係數=[-2, 11]；a=0、b=5，N=11等份左端和S_N。求 I(a,b)−S_N。

• G001 — 全實數論域；升冪係數的受限多項式模型。f(x)=11x+(-2)，其升冪係數=[-2, 11]；a=0、b=5，N=11等份左端和S_N。求 I(a,b)−S_N。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-definite-integral

逐步推導

explicit real polynomial moment or constant integrand model

oriented I(a,b)=H(b)−H(a);do not sort endpoints

interval width := sub(5, 0)

interval width = 5

partition step := div(5, 11)

partition step = 5/11

left sample0 offset := mul(0, 5/11)

left sample0 offset = 0

left sample0 x := sum(0, 0)

left sample0 x = 0

left sample0 mx := mul(11, 0)

left sample0 mx = 0

left sample0 value := sum(0, -2)

left sample0 value = -2

left sample0 rectangle := mul(-2, 5/11)

left sample0 rectangle = -10/11

[0, -2, -10/11]

finite left-sum term index=0

left sample1 offset := mul(1, 5/11)

left sample1 offset = 5/11

left sample1 x := sum(0, 5/11)

left sample1 x = 5/11

left sample1 mx := mul(11, 5/11)

left sample1 mx = 5

left sample1 value := sum(5, -2)

left sample1 value = 3

left sample1 rectangle := mul(3, 5/11)

left sample1 rectangle = 15/11

[5/11, 3, 15/11]

finite left-sum term index=1

left sample2 offset := mul(2, 5/11)

left sample2 offset = 10/11

left sample2 x := sum(0, 10/11)

left sample2 x = 10/11

left sample2 mx := mul(11, 10/11)

left sample2 mx = 10

left sample2 value := sum(10, -2)

left sample2 value = 8

left sample2 rectangle := mul(8, 5/11)

left sample2 rectangle = 40/11

[10/11, 8, 40/11]

finite left-sum term index=2

left sample3 offset := mul(3, 5/11)

left sample3 offset = 15/11

left sample3 x := sum(0, 15/11)

left sample3 x = 15/11

left sample3 mx := mul(11, 15/11)

left sample3 mx = 15

left sample3 value := sum(15, -2)

left sample3 value = 13

left sample3 rectangle := mul(13, 5/11)

left sample3 rectangle = 65/11

[15/11, 13, 65/11]

finite left-sum term index=3

left sample4 offset := mul(4, 5/11)

left sample4 offset = 20/11

left sample4 x := sum(0, 20/11)

left sample4 x = 20/11

left sample4 mx := mul(11, 20/11)

left sample4 mx = 20

left sample4 value := sum(20, -2)

left sample4 value = 18

left sample4 rectangle := mul(18, 5/11)

left sample4 rectangle = 90/11

[20/11, 18, 90/11]

finite left-sum term index=4

left sample5 offset := mul(5, 5/11)

left sample5 offset = 25/11

left sample5 x := sum(0, 25/11)

left sample5 x = 25/11

left sample5 mx := mul(11, 25/11)

left sample5 mx = 25

left sample5 value := sum(25, -2)

left sample5 value = 23

left sample5 rectangle := mul(23, 5/11)

left sample5 rectangle = 115/11

[25/11, 23, 115/11]

finite left-sum term index=5

left sample6 offset := mul(6, 5/11)

left sample6 offset = 30/11

left sample6 x := sum(0, 30/11)

left sample6 x = 30/11

left sample6 mx := mul(11, 30/11)

left sample6 mx = 30

left sample6 value := sum(30, -2)

left sample6 value = 28

left sample6 rectangle := mul(28, 5/11)

left sample6 rectangle = 140/11

[30/11, 28, 140/11]

finite left-sum term index=6

left sample7 offset := mul(7, 5/11)

left sample7 offset = 35/11

left sample7 x := sum(0, 35/11)

left sample7 x = 35/11

left sample7 mx := mul(11, 35/11)

left sample7 mx = 35

left sample7 value := sum(35, -2)

left sample7 value = 33

left sample7 rectangle := mul(33, 5/11)

left sample7 rectangle = 15

[35/11, 33, 15]

finite left-sum term index=7

left sample8 offset := mul(8, 5/11)

left sample8 offset = 40/11

left sample8 x := sum(0, 40/11)

left sample8 x = 40/11

left sample8 mx := mul(11, 40/11)

left sample8 mx = 40

left sample8 value := sum(40, -2)

left sample8 value = 38

left sample8 rectangle := mul(38, 5/11)

left sample8 rectangle = 190/11

[40/11, 38, 190/11]

finite left-sum term index=8

left sample9 offset := mul(9, 5/11)

left sample9 offset = 45/11

left sample9 x := sum(0, 45/11)

left sample9 x = 45/11

left sample9 mx := mul(11, 45/11)

left sample9 mx = 45

left sample9 value := sum(45, -2)

left sample9 value = 43

left sample9 rectangle := mul(43, 5/11)

left sample9 rectangle = 215/11

[45/11, 43, 215/11]

finite left-sum term index=9

left sample10 offset := mul(10, 5/11)

left sample10 offset = 50/11

left sample10 x := sum(0, 50/11)

left sample10 x = 50/11

left sample10 mx := mul(11, 50/11)

left sample10 mx = 50

left sample10 value := sum(50, -2)

left sample10 value = 48

left sample10 rectangle := mul(48, 5/11)

left sample10 rectangle = 240/11

[50/11, 48, 240/11]

finite left-sum term index=10

finite left sum := sum(-10/11, 15/11, 40/11, 65/11, 90/11, 115/11, 140/11, 15, 190/11, 215/11, 240/11)

finite left sum = 115

affine integral primitive coefficient1 := div(-2, 1)

affine integral primitive coefficient1 = -2

affine integral primitive coefficient2 := div(11, 2)

affine integral primitive coefficient2 = 11/2

[0, -2, 11/2]

H′=the supplied polynomial;integrate from 0 to 5

affine integral H(b) ascending coefficients=[0, -2, 11/2]

evaluate at x=5

affine integral H(b) Horner multiply before degree1 := mul(11/2, 5)

affine integral H(b) Horner multiply before degree1 = 55/2

affine integral H(b) Horner add degree1 := sum(55/2, -2)

affine integral H(b) Horner add degree1 = 51/2

affine integral H(b) Horner multiply before degree0 := mul(51/2, 5)

affine integral H(b) Horner multiply before degree0 = 255/2

affine integral H(b) Horner add degree0 := sum(255/2, 0)

affine integral H(b) Horner add degree0 = 255/2

affine integral H(a) ascending coefficients=[0, -2, 11/2]

evaluate at x=0

affine integral H(a) Horner multiply before degree1 := mul(11/2, 0)

affine integral H(a) Horner multiply before degree1 = 0

affine integral H(a) Horner add degree1 := sum(0, -2)

affine integral H(a) Horner add degree1 = -2

affine integral H(a) Horner multiply before degree0 := mul(-2, 0)

affine integral H(a) Horner multiply before degree0 = 0

affine integral H(a) Horner add degree0 := sum(0, 0)

affine integral H(a) Horner add degree0 = 0

affine integral oriented moment := sub(255/2, 0)

affine integral oriented moment = 255/2

integral minus left sum := sub(255/2, 115)

integral minus left sum = 25/2

I=255/2;S_N=115;N=11

signed finite-sum difference=25/2

逐步反向核對

• S086 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S085 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 integral minus left sum，不以小數近似替代。
• S084 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral oriented moment，不以小數近似替代。
• S083 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral H(a) Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S082 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral H(a) Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S081 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral H(a) Horner add degree1，不以小數近似替代。
• S080 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral H(a) Horner multiply before degree1，不以小數近似替代。
• S079 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S078 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral H(b) Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S077 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral H(b) Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S076 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral H(b) Horner add degree1，不以小數近似替代。
• S075 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral H(b) Horner multiply before degree1，不以小數近似替代。
• S074 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S073 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S072 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral primitive coefficient2，不以小數近似替代。
• S071 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral primitive coefficient1，不以小數近似替代。
• S070 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 finite left sum，不以小數近似替代。
• S069 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S068 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample10 rectangle，不以小數近似替代。
• S067 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample10 value，不以小數近似替代。
• S066 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample10 mx，不以小數近似替代。
• S065 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample10 x，不以小數近似替代。
• S064 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample10 offset，不以小數近似替代。
• S063 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S062 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample9 rectangle，不以小數近似替代。
• S061 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample9 value，不以小數近似替代。
• S060 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample9 mx，不以小數近似替代。
• S059 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample9 x，不以小數近似替代。
• S058 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample9 offset，不以小數近似替代。
• S057 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S056 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample8 rectangle，不以小數近似替代。
• S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample8 value，不以小數近似替代。
• S054 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample8 mx，不以小數近似替代。
• S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample8 x，不以小數近似替代。
• S052 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample8 offset，不以小數近似替代。
• S051 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample7 rectangle，不以小數近似替代。
• S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample7 value，不以小數近似替代。
• S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample7 mx，不以小數近似替代。
• S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample7 x，不以小數近似替代。
• S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample7 offset，不以小數近似替代。
• S045 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample6 rectangle，不以小數近似替代。
• S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample6 value，不以小數近似替代。
• S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample6 mx，不以小數近似替代。
• S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample6 x，不以小數近似替代。
• S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample6 offset，不以小數近似替代。
• S039 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample5 rectangle，不以小數近似替代。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample5 value，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample5 mx，不以小數近似替代。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample5 x，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample5 offset，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample4 rectangle，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample4 value，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample4 mx，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample4 x，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample4 offset，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample3 rectangle，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample3 value，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample3 mx，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample3 x，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample3 offset，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample2 rectangle，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample2 value，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample2 mx，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample2 x，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample2 offset，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample1 rectangle，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample1 value，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample1 mx，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample1 x，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample1 offset，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample0 rectangle，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample0 value，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample0 mx，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample0 x，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample0 offset，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 partition step，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 interval width，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

25/2

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。