第 3866 題：精確矩積分減左端有限和

原題與已知條件

全實數論域；升冪係數的受限多項式模型。f(x)=-16x+(3)，其升冪係數=[3, -16]；a=1、b=5，N=16等份左端和S_N。求 I(a,b)−S_N。

• G001 — 全實數論域；升冪係數的受限多項式模型。f(x)=-16x+(3)，其升冪係數=[3, -16]；a=1、b=5，N=16等份左端和S_N。求 I(a,b)−S_N。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-definite-integral

逐步推導

explicit real polynomial moment or constant integrand model

oriented I(a,b)=H(b)−H(a);do not sort endpoints

interval width := sub(5, 1)

interval width = 4

partition step := div(4, 16)

partition step = 1/4

left sample0 offset := mul(0, 1/4)

left sample0 offset = 0

left sample0 x := sum(1, 0)

left sample0 x = 1

left sample0 mx := mul(-16, 1)

left sample0 mx = -16

left sample0 value := sum(-16, 3)

left sample0 value = -13

left sample0 rectangle := mul(-13, 1/4)

left sample0 rectangle = -13/4

[1, -13, -13/4]

finite left-sum term index=0

left sample1 offset := mul(1, 1/4)

left sample1 offset = 1/4

left sample1 x := sum(1, 1/4)

left sample1 x = 5/4

left sample1 mx := mul(-16, 5/4)

left sample1 mx = -20

left sample1 value := sum(-20, 3)

left sample1 value = -17

left sample1 rectangle := mul(-17, 1/4)

left sample1 rectangle = -17/4

[5/4, -17, -17/4]

finite left-sum term index=1

left sample2 offset := mul(2, 1/4)

left sample2 offset = 1/2

left sample2 x := sum(1, 1/2)

left sample2 x = 3/2

left sample2 mx := mul(-16, 3/2)

left sample2 mx = -24

left sample2 value := sum(-24, 3)

left sample2 value = -21

left sample2 rectangle := mul(-21, 1/4)

left sample2 rectangle = -21/4

[3/2, -21, -21/4]

finite left-sum term index=2

left sample3 offset := mul(3, 1/4)

left sample3 offset = 3/4

left sample3 x := sum(1, 3/4)

left sample3 x = 7/4

left sample3 mx := mul(-16, 7/4)

left sample3 mx = -28

left sample3 value := sum(-28, 3)

left sample3 value = -25

left sample3 rectangle := mul(-25, 1/4)

left sample3 rectangle = -25/4

[7/4, -25, -25/4]

finite left-sum term index=3

left sample4 offset := mul(4, 1/4)

left sample4 offset = 1

left sample4 x := sum(1, 1)

left sample4 x = 2

left sample4 mx := mul(-16, 2)

left sample4 mx = -32

left sample4 value := sum(-32, 3)

left sample4 value = -29

left sample4 rectangle := mul(-29, 1/4)

left sample4 rectangle = -29/4

[2, -29, -29/4]

finite left-sum term index=4

left sample5 offset := mul(5, 1/4)

left sample5 offset = 5/4

left sample5 x := sum(1, 5/4)

left sample5 x = 9/4

left sample5 mx := mul(-16, 9/4)

left sample5 mx = -36

left sample5 value := sum(-36, 3)

left sample5 value = -33

left sample5 rectangle := mul(-33, 1/4)

left sample5 rectangle = -33/4

[9/4, -33, -33/4]

finite left-sum term index=5

left sample6 offset := mul(6, 1/4)

left sample6 offset = 3/2

left sample6 x := sum(1, 3/2)

left sample6 x = 5/2

left sample6 mx := mul(-16, 5/2)

left sample6 mx = -40

left sample6 value := sum(-40, 3)

left sample6 value = -37

left sample6 rectangle := mul(-37, 1/4)

left sample6 rectangle = -37/4

[5/2, -37, -37/4]

finite left-sum term index=6

left sample7 offset := mul(7, 1/4)

left sample7 offset = 7/4

left sample7 x := sum(1, 7/4)

left sample7 x = 11/4

left sample7 mx := mul(-16, 11/4)

left sample7 mx = -44

left sample7 value := sum(-44, 3)

left sample7 value = -41

left sample7 rectangle := mul(-41, 1/4)

left sample7 rectangle = -41/4

[11/4, -41, -41/4]

finite left-sum term index=7

left sample8 offset := mul(8, 1/4)

left sample8 offset = 2

left sample8 x := sum(1, 2)

left sample8 x = 3

left sample8 mx := mul(-16, 3)

left sample8 mx = -48

left sample8 value := sum(-48, 3)

left sample8 value = -45

left sample8 rectangle := mul(-45, 1/4)

left sample8 rectangle = -45/4

[3, -45, -45/4]

finite left-sum term index=8

left sample9 offset := mul(9, 1/4)

left sample9 offset = 9/4

left sample9 x := sum(1, 9/4)

left sample9 x = 13/4

left sample9 mx := mul(-16, 13/4)

left sample9 mx = -52

left sample9 value := sum(-52, 3)

left sample9 value = -49

left sample9 rectangle := mul(-49, 1/4)

left sample9 rectangle = -49/4

[13/4, -49, -49/4]

finite left-sum term index=9

left sample10 offset := mul(10, 1/4)

left sample10 offset = 5/2

left sample10 x := sum(1, 5/2)

left sample10 x = 7/2

left sample10 mx := mul(-16, 7/2)

left sample10 mx = -56

left sample10 value := sum(-56, 3)

left sample10 value = -53

left sample10 rectangle := mul(-53, 1/4)

left sample10 rectangle = -53/4

[7/2, -53, -53/4]

finite left-sum term index=10

left sample11 offset := mul(11, 1/4)

left sample11 offset = 11/4

left sample11 x := sum(1, 11/4)

left sample11 x = 15/4

left sample11 mx := mul(-16, 15/4)

left sample11 mx = -60

left sample11 value := sum(-60, 3)

left sample11 value = -57

left sample11 rectangle := mul(-57, 1/4)

left sample11 rectangle = -57/4

[15/4, -57, -57/4]

finite left-sum term index=11

left sample12 offset := mul(12, 1/4)

left sample12 offset = 3

left sample12 x := sum(1, 3)

left sample12 x = 4

left sample12 mx := mul(-16, 4)

left sample12 mx = -64

left sample12 value := sum(-64, 3)

left sample12 value = -61

left sample12 rectangle := mul(-61, 1/4)

left sample12 rectangle = -61/4

[4, -61, -61/4]

finite left-sum term index=12

left sample13 offset := mul(13, 1/4)

left sample13 offset = 13/4

left sample13 x := sum(1, 13/4)

left sample13 x = 17/4

left sample13 mx := mul(-16, 17/4)

left sample13 mx = -68

left sample13 value := sum(-68, 3)

left sample13 value = -65

left sample13 rectangle := mul(-65, 1/4)

left sample13 rectangle = -65/4

[17/4, -65, -65/4]

finite left-sum term index=13

left sample14 offset := mul(14, 1/4)

left sample14 offset = 7/2

left sample14 x := sum(1, 7/2)

left sample14 x = 9/2

left sample14 mx := mul(-16, 9/2)

left sample14 mx = -72

left sample14 value := sum(-72, 3)

left sample14 value = -69

left sample14 rectangle := mul(-69, 1/4)

left sample14 rectangle = -69/4

[9/2, -69, -69/4]

finite left-sum term index=14

left sample15 offset := mul(15, 1/4)

left sample15 offset = 15/4

left sample15 x := sum(1, 15/4)

left sample15 x = 19/4

left sample15 mx := mul(-16, 19/4)

left sample15 mx = -76

left sample15 value := sum(-76, 3)

left sample15 value = -73

left sample15 rectangle := mul(-73, 1/4)

left sample15 rectangle = -73/4

[19/4, -73, -73/4]

finite left-sum term index=15

finite left sum := sum(-13/4, -17/4, -21/4, -25/4, -29/4, -33/4, -37/4, -41/4, -45/4, -49/4, -53/4, -57/4, -61/4, -65/4, -69/4, -73/4)

finite left sum = -172

affine integral primitive coefficient1 := div(3, 1)

affine integral primitive coefficient1 = 3

affine integral primitive coefficient2 := div(-16, 2)

affine integral primitive coefficient2 = -8

[0, 3, -8]

H′=the supplied polynomial;integrate from 1 to 5

affine integral H(b) ascending coefficients=[0, 3, -8]

evaluate at x=5

affine integral H(b) Horner multiply before degree1 := mul(-8, 5)

affine integral H(b) Horner multiply before degree1 = -40

affine integral H(b) Horner add degree1 := sum(-40, 3)

affine integral H(b) Horner add degree1 = -37

affine integral H(b) Horner multiply before degree0 := mul(-37, 5)

affine integral H(b) Horner multiply before degree0 = -185

affine integral H(b) Horner add degree0 := sum(-185, 0)

affine integral H(b) Horner add degree0 = -185

affine integral H(a) ascending coefficients=[0, 3, -8]

evaluate at x=1

affine integral H(a) Horner multiply before degree1 := mul(-8, 1)

affine integral H(a) Horner multiply before degree1 = -8

affine integral H(a) Horner add degree1 := sum(-8, 3)

affine integral H(a) Horner add degree1 = -5

affine integral H(a) Horner multiply before degree0 := mul(-5, 1)

affine integral H(a) Horner multiply before degree0 = -5

affine integral H(a) Horner add degree0 := sum(-5, 0)

affine integral H(a) Horner add degree0 = -5

affine integral oriented moment := sub(-185, -5)

affine integral oriented moment = -180

integral minus left sum := sub(-180, -172)

integral minus left sum = -8

I=-180;S_N=-172;N=16

signed finite-sum difference=-8

逐步反向核對

• S116 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S115 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 integral minus left sum，不以小數近似替代。
• S114 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral oriented moment，不以小數近似替代。
• S113 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral H(a) Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S112 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral H(a) Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S111 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral H(a) Horner add degree1，不以小數近似替代。
• S110 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral H(a) Horner multiply before degree1，不以小數近似替代。
• S109 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S108 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral H(b) Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S107 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral H(b) Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S106 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral H(b) Horner add degree1，不以小數近似替代。
• S105 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral H(b) Horner multiply before degree1，不以小數近似替代。
• S104 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S103 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S102 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral primitive coefficient2，不以小數近似替代。
• S101 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral primitive coefficient1，不以小數近似替代。
• S100 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 finite left sum，不以小數近似替代。
• S099 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S098 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample15 rectangle，不以小數近似替代。
• S097 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample15 value，不以小數近似替代。
• S096 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample15 mx，不以小數近似替代。
• S095 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample15 x，不以小數近似替代。
• S094 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample15 offset，不以小數近似替代。
• S093 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S092 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample14 rectangle，不以小數近似替代。
• S091 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample14 value，不以小數近似替代。
• S090 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample14 mx，不以小數近似替代。
• S089 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample14 x，不以小數近似替代。
• S088 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample14 offset，不以小數近似替代。
• S087 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S086 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample13 rectangle，不以小數近似替代。
• S085 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample13 value，不以小數近似替代。
• S084 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample13 mx，不以小數近似替代。
• S083 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample13 x，不以小數近似替代。
• S082 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample13 offset，不以小數近似替代。
• S081 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S080 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample12 rectangle，不以小數近似替代。
• S079 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample12 value，不以小數近似替代。
• S078 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample12 mx，不以小數近似替代。
• S077 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample12 x，不以小數近似替代。
• S076 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample12 offset，不以小數近似替代。
• S075 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S074 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample11 rectangle，不以小數近似替代。
• S073 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample11 value，不以小數近似替代。
• S072 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample11 mx，不以小數近似替代。
• S071 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample11 x，不以小數近似替代。
• S070 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample11 offset，不以小數近似替代。
• S069 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S068 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample10 rectangle，不以小數近似替代。
• S067 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample10 value，不以小數近似替代。
• S066 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample10 mx，不以小數近似替代。
• S065 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample10 x，不以小數近似替代。
• S064 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample10 offset，不以小數近似替代。
• S063 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S062 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample9 rectangle，不以小數近似替代。
• S061 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample9 value，不以小數近似替代。
• S060 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample9 mx，不以小數近似替代。
• S059 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample9 x，不以小數近似替代。
• S058 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample9 offset，不以小數近似替代。
• S057 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S056 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample8 rectangle，不以小數近似替代。
• S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample8 value，不以小數近似替代。
• S054 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample8 mx，不以小數近似替代。
• S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample8 x，不以小數近似替代。
• S052 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample8 offset，不以小數近似替代。
• S051 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample7 rectangle，不以小數近似替代。
• S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample7 value，不以小數近似替代。
• S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample7 mx，不以小數近似替代。
• S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample7 x，不以小數近似替代。
• S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample7 offset，不以小數近似替代。
• S045 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample6 rectangle，不以小數近似替代。
• S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample6 value，不以小數近似替代。
• S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample6 mx，不以小數近似替代。
• S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample6 x，不以小數近似替代。
• S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample6 offset，不以小數近似替代。
• S039 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample5 rectangle，不以小數近似替代。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample5 value，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample5 mx，不以小數近似替代。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample5 x，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample5 offset，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample4 rectangle，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample4 value，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample4 mx，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample4 x，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample4 offset，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample3 rectangle，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample3 value，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample3 mx，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample3 x，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample3 offset，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample2 rectangle，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample2 value，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample2 mx，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample2 x，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample2 offset，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample1 rectangle，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample1 value，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample1 mx，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample1 x，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample1 offset，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample0 rectangle，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample0 value，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample0 mx，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample0 x，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample0 offset，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 partition step，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 interval width，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

-8/1

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。