第 4228 題：多項式積的完整係數

原題與已知條件

升冪係數 f=[1, 1]、g=[1, -1]。求 fg 的完整升冪係數列表，最高可至6次，不截斷。

• G001 — 升冪係數 f=[1, 1]、g=[1, -1]。求 fg 的完整升冪係數列表，最高可至6次，不截斷。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-polynomial

逐步推導

f ascending coefficients=[1, 1]

coefficient k multiplies x^k;keep all required degrees

product term degrees0,0 := mul(1, 1)

product term degrees0,0 = 1

degrees 0+0

contribute 1 to degree0

product term degrees0,1 := mul(1, -1)

product term degrees0,1 = -1

degrees 0+1

contribute -1 to degree1

product term degrees1,0 := mul(1, 1)

product term degrees1,0 = 1

degrees 1+0

contribute 1 to degree1

product term degrees1,1 := mul(1, -1)

product term degrees1,1 = -1

degrees 1+1

contribute -1 to degree2

product coefficient0 := sum(1)

product coefficient0 = 1

product coefficient1 := sum(-1, 1)

product coefficient1 = 0

product coefficient2 := sum(-1)

product coefficient2 = -1

[1, 0, -1]

canonical ascending coefficient list

逐步反向核對

• S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product coefficient2，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product coefficient1，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product coefficient0，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product term degrees1,1，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product term degrees1,0，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product term degrees0,1，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product term degrees0,0，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

[1, 0, -1]

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。