第 4246 題：多項式積的完整係數

原題與已知條件

升冪係數 f=[8, 21, -20, 1]、g=[2, -1, 1, 2]。求 fg 的完整升冪係數列表，最高可至6次，不截斷。

• G001 — 升冪係數 f=[8, 21, -20, 1]、g=[2, -1, 1, 2]。求 fg 的完整升冪係數列表，最高可至6次，不截斷。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-polynomial

逐步推導

f ascending coefficients=[8, 21, -20, 1]

coefficient k multiplies x^k;keep all required degrees

product term degrees0,0 := mul(8, 2)

product term degrees0,0 = 16

degrees 0+0

contribute 16 to degree0

product term degrees0,1 := mul(8, -1)

product term degrees0,1 = -8

degrees 0+1

contribute -8 to degree1

product term degrees0,2 := mul(8, 1)

product term degrees0,2 = 8

degrees 0+2

contribute 8 to degree2

product term degrees0,3 := mul(8, 2)

product term degrees0,3 = 16

degrees 0+3

contribute 16 to degree3

product term degrees1,0 := mul(21, 2)

product term degrees1,0 = 42

degrees 1+0

contribute 42 to degree1

product term degrees1,1 := mul(21, -1)

product term degrees1,1 = -21

degrees 1+1

contribute -21 to degree2

product term degrees1,2 := mul(21, 1)

product term degrees1,2 = 21

degrees 1+2

contribute 21 to degree3

product term degrees1,3 := mul(21, 2)

product term degrees1,3 = 42

degrees 1+3

contribute 42 to degree4

product term degrees2,0 := mul(-20, 2)

product term degrees2,0 = -40

degrees 2+0

contribute -40 to degree2

product term degrees2,1 := mul(-20, -1)

product term degrees2,1 = 20

degrees 2+1

contribute 20 to degree3

product term degrees2,2 := mul(-20, 1)

product term degrees2,2 = -20

degrees 2+2

contribute -20 to degree4

product term degrees2,3 := mul(-20, 2)

product term degrees2,3 = -40

degrees 2+3

contribute -40 to degree5

product term degrees3,0 := mul(1, 2)

product term degrees3,0 = 2

degrees 3+0

contribute 2 to degree3

product term degrees3,1 := mul(1, -1)

product term degrees3,1 = -1

degrees 3+1

contribute -1 to degree4

product term degrees3,2 := mul(1, 1)

product term degrees3,2 = 1

degrees 3+2

contribute 1 to degree5

product term degrees3,3 := mul(1, 2)

product term degrees3,3 = 2

degrees 3+3

contribute 2 to degree6

product coefficient0 := sum(16)

product coefficient0 = 16

product coefficient1 := sum(-8, 42)

product coefficient1 = 34

product coefficient2 := sum(8, -21, -40)

product coefficient2 = -53

product coefficient3 := sum(16, 21, 20, 2)

product coefficient3 = 59

product coefficient4 := sum(42, -20, -1)

product coefficient4 = 21

product coefficient5 := sum(-40, 1)

product coefficient5 = -39

product coefficient6 := sum(2)

product coefficient6 = 2

[16, 34, -53, 59, 21, -39, 2]

canonical ascending coefficient list

逐步反向核對

• S041 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product coefficient6，不以小數近似替代。
• S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product coefficient5，不以小數近似替代。
• S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product coefficient4，不以小數近似替代。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product coefficient3，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product coefficient2，不以小數近似替代。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product coefficient1，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product coefficient0，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product term degrees3,3，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product term degrees3,2，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product term degrees3,1，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product term degrees3,0，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product term degrees2,3，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product term degrees2,2，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product term degrees2,1，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product term degrees2,0，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product term degrees1,3，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product term degrees1,2，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product term degrees1,1，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product term degrees1,0，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product term degrees0,3，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product term degrees0,2，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product term degrees0,1，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product term degrees0,0，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

[16, 34, -53, 59, 21, -39, 2]

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。