第 4247 題：多項式積的完整係數

原題與已知條件

升冪係數 f=[9, 22, -21, 1]、g=[2, -1, 1, 2]。求 fg 的完整升冪係數列表，最高可至6次，不截斷。

• G001 — 升冪係數 f=[9, 22, -21, 1]、g=[2, -1, 1, 2]。求 fg 的完整升冪係數列表，最高可至6次，不截斷。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-polynomial

逐步推導

f ascending coefficients=[9, 22, -21, 1]

coefficient k multiplies x^k;keep all required degrees

product term degrees0,0 := mul(9, 2)

product term degrees0,0 = 18

degrees 0+0

contribute 18 to degree0

product term degrees0,1 := mul(9, -1)

product term degrees0,1 = -9

degrees 0+1

contribute -9 to degree1

product term degrees0,2 := mul(9, 1)

product term degrees0,2 = 9

degrees 0+2

contribute 9 to degree2

product term degrees0,3 := mul(9, 2)

product term degrees0,3 = 18

degrees 0+3

contribute 18 to degree3

product term degrees1,0 := mul(22, 2)

product term degrees1,0 = 44

degrees 1+0

contribute 44 to degree1

product term degrees1,1 := mul(22, -1)

product term degrees1,1 = -22

degrees 1+1

contribute -22 to degree2

product term degrees1,2 := mul(22, 1)

product term degrees1,2 = 22

degrees 1+2

contribute 22 to degree3

product term degrees1,3 := mul(22, 2)

product term degrees1,3 = 44

degrees 1+3

contribute 44 to degree4

product term degrees2,0 := mul(-21, 2)

product term degrees2,0 = -42

degrees 2+0

contribute -42 to degree2

product term degrees2,1 := mul(-21, -1)

product term degrees2,1 = 21

degrees 2+1

contribute 21 to degree3

product term degrees2,2 := mul(-21, 1)

product term degrees2,2 = -21

degrees 2+2

contribute -21 to degree4

product term degrees2,3 := mul(-21, 2)

product term degrees2,3 = -42

degrees 2+3

contribute -42 to degree5

product term degrees3,0 := mul(1, 2)

product term degrees3,0 = 2

degrees 3+0

contribute 2 to degree3

product term degrees3,1 := mul(1, -1)

product term degrees3,1 = -1

degrees 3+1

contribute -1 to degree4

product term degrees3,2 := mul(1, 1)

product term degrees3,2 = 1

degrees 3+2

contribute 1 to degree5

product term degrees3,3 := mul(1, 2)

product term degrees3,3 = 2

degrees 3+3

contribute 2 to degree6

product coefficient0 := sum(18)

product coefficient0 = 18

product coefficient1 := sum(-9, 44)

product coefficient1 = 35

product coefficient2 := sum(9, -22, -42)

product coefficient2 = -55

product coefficient3 := sum(18, 22, 21, 2)

product coefficient3 = 63

product coefficient4 := sum(44, -21, -1)

product coefficient4 = 22

product coefficient5 := sum(-42, 1)

product coefficient5 = -41

product coefficient6 := sum(2)

product coefficient6 = 2

[18, 35, -55, 63, 22, -41, 2]

canonical ascending coefficient list

逐步反向核對

• S041 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product coefficient6，不以小數近似替代。
• S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product coefficient5，不以小數近似替代。
• S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product coefficient4，不以小數近似替代。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product coefficient3，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product coefficient2，不以小數近似替代。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product coefficient1，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product coefficient0，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product term degrees3,3，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product term degrees3,2，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product term degrees3,1，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product term degrees3,0，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product term degrees2,3，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product term degrees2,2，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product term degrees2,1，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product term degrees2,0，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product term degrees1,3，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product term degrees1,2，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product term degrees1,1，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product term degrees1,0，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product term degrees0,3，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product term degrees0,2，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product term degrees0,1，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product term degrees0,0，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

[18, 35, -55, 63, 22, -41, 2]

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。