第 4254 題：變數平移後的完整係數

原題與已知條件

升冪係數 f=[-9, 4, -2, 1]，c=1。求 f(x+c) 的完整升冪係數，不只求某點值。

• G001 — 升冪係數 f=[-9, 4, -2, 1]，c=1。求 f(x+c) 的完整升冪係數，不只求某點值。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-polynomial

逐步推導

f ascending coefficients=[-9, 4, -2, 1]

coefficient k multiplies x^k;keep all required degrees

term -9(x+(1))^0

expand (-9)·Σ_j C(0,j)x^j(1)^(0−j)

(1)^0

shift power0,0 = 1

shift scaled binomial0,0 := mul(-9, 1)

shift scaled binomial0,0 = -9

shift contribution0,0 := mul(-9, 1)

shift contribution0,0 = -9

term 4(x+(1))^1

expand (4)·Σ_j C(1,j)x^j(1)^(1−j)

(1)^1

shift power1,0 = 1

shift scaled binomial1,0 := mul(4, 1)

shift scaled binomial1,0 = 4

shift contribution1,0 := mul(4, 1)

shift contribution1,0 = 4

(1)^0

shift power1,1 = 1

shift scaled binomial1,1 := mul(4, 1)

shift scaled binomial1,1 = 4

shift contribution1,1 := mul(4, 1)

shift contribution1,1 = 4

term -2(x+(1))^2

expand (-2)·Σ_j C(2,j)x^j(1)^(2−j)

(1)^2

shift power2,0 = 1

shift scaled binomial2,0 := mul(-2, 1)

shift scaled binomial2,0 = -2

shift contribution2,0 := mul(-2, 1)

shift contribution2,0 = -2

(1)^1

shift power2,1 = 1

shift scaled binomial2,1 := mul(-2, 2)

shift scaled binomial2,1 = -4

shift contribution2,1 := mul(-4, 1)

shift contribution2,1 = -4

(1)^0

shift power2,2 = 1

shift scaled binomial2,2 := mul(-2, 1)

shift scaled binomial2,2 = -2

shift contribution2,2 := mul(-2, 1)

shift contribution2,2 = -2

term 1(x+(1))^3

expand (1)·Σ_j C(3,j)x^j(1)^(3−j)

(1)^3

shift power3,0 = 1

shift scaled binomial3,0 := mul(1, 1)

shift scaled binomial3,0 = 1

shift contribution3,0 := mul(1, 1)

shift contribution3,0 = 1

(1)^2

shift power3,1 = 1

shift scaled binomial3,1 := mul(1, 3)

shift scaled binomial3,1 = 3

shift contribution3,1 := mul(3, 1)

shift contribution3,1 = 3

(1)^1

shift power3,2 = 1

shift scaled binomial3,2 := mul(1, 3)

shift scaled binomial3,2 = 3

shift contribution3,2 := mul(3, 1)

shift contribution3,2 = 3

(1)^0

shift power3,3 = 1

shift scaled binomial3,3 := mul(1, 1)

shift scaled binomial3,3 = 1

shift contribution3,3 := mul(1, 1)

shift contribution3,3 = 1

shift coefficient0 := sum(-9, 4, -2, 1)

shift coefficient0 = -6

shift coefficient1 := sum(4, -4, 3)

shift coefficient1 = 3

shift coefficient2 := sum(-2, 3)

shift coefficient2 = 1

shift coefficient3 := sum(1)

shift coefficient3 = 1

[-6, 3, 1, 1]

canonical ascending coefficient list

逐步反向核對

• S040 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 shift coefficient3，不以小數近似替代。
• S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 shift coefficient2，不以小數近似替代。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 shift coefficient1，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 shift coefficient0，不以小數近似替代。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 shift contribution3,3，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 shift scaled binomial3,3，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 shift contribution3,2，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 shift scaled binomial3,2，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 shift contribution3,1，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 shift scaled binomial3,1，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 shift contribution3,0，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 shift scaled binomial3,0，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 shift contribution2,2，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 shift scaled binomial2,2，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 shift contribution2,1，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 shift scaled binomial2,1，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 shift contribution2,0，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 shift scaled binomial2,0，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 shift contribution1,1，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 shift scaled binomial1,1，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 shift contribution1,0，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 shift scaled binomial1,0，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 shift contribution0,0，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 shift scaled binomial0,0，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

[-6, 3, 1, 1]

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。