第 4040 題：兩段完全平方距離的整數和

原題與已知條件

同一等單位正交實平面；L2為從共同原點到每個座標向量的歐氏距離；向量依序為 [[42, 56], [5, 12]]，兩平方和均為完全平方。求兩個非負L2距離的整數和。

• G001 — 同一等單位正交實平面；L2為從共同原點到每個座標向量的歐氏距離；向量依序為 [[42, 56], [5, 12]]，兩平方和均為完全平方。求兩個非負L2距離的整數和。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-distance-formula

逐步推導

integer vectors from a common origin;orthogonal equal-length units

L2(v)≥0 and L2(v)²=v₁²+v₂²

vector1 coordinate1 squared := square(42)

vector1 coordinate1 squared = 1764

vector1 coordinate2 squared := square(56)

vector1 coordinate2 squared = 3136

vector1 L2 squared := sum(1764, 3136)

vector1 L2 squared = 4900

vector2 coordinate1 squared := square(5)

vector2 coordinate1 squared = 25

vector2 coordinate2 squared := square(12)

vector2 coordinate2 squared = 144

vector2 L2 squared := sum(25, 144)

vector2 L2 squared = 169

principal root1 square := square(70)

principal root1 square = 4900

root=70≥0;root²=4900=L2²

L2=70

principal root2 square := square(13)

principal root2 square = 169

root=13≥0;root²=169=L2²

L2=13

two distance sum := sum(70, 13)

two distance sum = 83

[70, 13]

sum=83

逐步反向核對

• S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 two distance sum，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 principal root2 square，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 principal root1 square，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 vector2 L2 squared，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 vector2 coordinate2 squared，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 vector2 coordinate1 squared，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 vector1 L2 squared，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 vector1 coordinate2 squared，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 vector1 coordinate1 squared，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

83

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。