第 4581 題：二階矩與均值平方的有序對

原題與已知條件

有限歸一化模型；S={0,…,2}，F=𝒫(S)，質量=[6, 2, 1]、D=9，權重為質量/D；X值=[-5, 2, 6]。依序求 (E[X²], (E[X])²)，不要混同兩式。

• G001 — 有限歸一化模型；S={0,…,2}，F=𝒫(S)，質量=[6, 2, 1]、D=9，權重為質量/D；X值=[-5, 2, 6]。依序求 (E[X²], (E[X])²)，不要混同兩式。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-variance

逐步推導

total mass numerator := sum(6, 2, 1)

total mass numerator = 9

probability weight0 := div(6, 9)

probability weight0 = 2/3

probability weight1 := div(2, 9)

probability weight1 = 2/9

probability weight2 := div(1, 9)

probability weight2 = 1/9

values=[-5, 2, 6];weights=[2/3, 2/9, 1/9]

known finite probability law,not a sampled estimate

target variable weighted value0 := mul(2/3, -5)

target variable weighted value0 = -10/3

target variable weighted value1 := mul(2/9, 2)

target variable weighted value1 = 4/9

target variable weighted value2 := mul(1/9, 6)

target variable weighted value2 = 2/3

target variable mean := sum(-10/3, 4/9, 2/3)

target variable mean = -20/9

pointwise square0 := square(-5)

pointwise square0 = 25

pointwise square1 := square(2)

pointwise square1 = 4

pointwise square2 := square(6)

pointwise square2 = 36

squared variable weighted value0 := mul(2/3, 25)

squared variable weighted value0 = 50/3

squared variable weighted value1 := mul(2/9, 4)

squared variable weighted value1 = 8/9

squared variable weighted value2 := mul(1/9, 36)

squared variable weighted value2 = 4

squared variable mean := sum(50/3, 8/9, 4)

squared variable mean = 194/9

mean squared := square(-20/9)

mean squared = 400/81

E[X²]=194/9;(E[X])²=400/81

Var(X)=E[X²]−(E[X])² under this finite law

逐步反向核對

• S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 mean squared，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 squared variable mean，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 squared variable weighted value2，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 squared variable weighted value1，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 squared variable weighted value0，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 pointwise square2，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 pointwise square1，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 pointwise square0，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 target variable mean，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 target variable weighted value2，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 target variable weighted value1，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 target variable weighted value0，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 probability weight2，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 probability weight1，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 probability weight0，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 total mass numerator，不以小數近似替代。

結論

(194/9, 400/81)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。