第 4589 題：二階矩與均值平方的有序對

原題與已知條件

有限歸一化模型；S={0,…,2}，F=𝒫(S)，質量=[14, 2, 1]、D=17，權重為質量/D；X值=[-13, 2, 14]。依序求 (E[X²], (E[X])²)，不要混同兩式。

• G001 — 有限歸一化模型；S={0,…,2}，F=𝒫(S)，質量=[14, 2, 1]、D=17，權重為質量/D；X值=[-13, 2, 14]。依序求 (E[X²], (E[X])²)，不要混同兩式。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-variance

逐步推導

total mass numerator := sum(14, 2, 1)

total mass numerator = 17

probability weight0 := div(14, 17)

probability weight0 = 14/17

probability weight1 := div(2, 17)

probability weight1 = 2/17

probability weight2 := div(1, 17)

probability weight2 = 1/17

values=[-13, 2, 14];weights=[14/17, 2/17, 1/17]

known finite probability law,not a sampled estimate

target variable weighted value0 := mul(14/17, -13)

target variable weighted value0 = -182/17

target variable weighted value1 := mul(2/17, 2)

target variable weighted value1 = 4/17

target variable weighted value2 := mul(1/17, 14)

target variable weighted value2 = 14/17

target variable mean := sum(-182/17, 4/17, 14/17)

target variable mean = -164/17

pointwise square0 := square(-13)

pointwise square0 = 169

pointwise square1 := square(2)

pointwise square1 = 4

pointwise square2 := square(14)

pointwise square2 = 196

squared variable weighted value0 := mul(14/17, 169)

squared variable weighted value0 = 2366/17

squared variable weighted value1 := mul(2/17, 4)

squared variable weighted value1 = 8/17

squared variable weighted value2 := mul(1/17, 196)

squared variable weighted value2 = 196/17

squared variable mean := sum(2366/17, 8/17, 196/17)

squared variable mean = 2570/17

mean squared := square(-164/17)

mean squared = 26896/289

E[X²]=2570/17;(E[X])²=26896/289

Var(X)=E[X²]−(E[X])² under this finite law

逐步反向核對

• S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 mean squared，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 squared variable mean，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 squared variable weighted value2，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 squared variable weighted value1，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 squared variable weighted value0，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 pointwise square2，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 pointwise square1，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 pointwise square0，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 target variable mean，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 target variable weighted value2，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 target variable weighted value1，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 target variable weighted value0，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 probability weight2，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 probability weight1，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 probability weight0，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 total mass numerator，不以小數近似替代。

結論

(2570/17, 26896/289)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。