第 4533 題：共模型差變數的概率變異數

原題與已知條件

有限歸一化模型；S={0,…,2}，F=𝒫(S)，質量=[8, 2, 1]、D=11，權重為質量/D；X值=[-7, 2, 8]、Y值=[1, -1, -7]，X與Y共用S和權重，不假設獨立。求 Var(X−Y)，不要拆作Var(X)+Var(Y)。

• G001 — 有限歸一化模型；S={0,…,2}，F=𝒫(S)，質量=[8, 2, 1]、D=11，權重為質量/D；X值=[-7, 2, 8]、Y值=[1, -1, -7]，X與Y共用S和權重，不假設獨立。求 Var(X−Y)，不要拆作Var(X)+Var(Y)。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-variance

逐步推導

total mass numerator := sum(8, 2, 1)

total mass numerator = 11

probability weight0 := div(8, 11)

probability weight0 = 8/11

probability weight1 := div(2, 11)

probability weight1 = 2/11

probability weight2 := div(1, 11)

probability weight2 = 1/11

values=[-7, 2, 8];weights=[8/11, 2/11, 1/11]

known finite probability law,not a sampled estimate

pointwise difference0 := sub(-7, 1)

pointwise difference0 = -8

pointwise difference1 := sub(2, -1)

pointwise difference1 = 3

pointwise difference2 := sub(8, -7)

pointwise difference2 = 15

[-8, 3, 15]

compute the variance of this shared-model difference

target variable weighted value0 := mul(8/11, -8)

target variable weighted value0 = -64/11

target variable weighted value1 := mul(2/11, 3)

target variable weighted value1 = 6/11

target variable weighted value2 := mul(1/11, 15)

target variable weighted value2 = 15/11

target variable mean := sum(-64/11, 6/11, 15/11)

target variable mean = -43/11

centered difference0 := sub(-8, -43/11)

centered difference0 = -45/11

centered square0 := square(-45/11)

centered square0 = 2025/121

centered contribution0 := mul(8/11, 2025/121)

centered contribution0 = 16200/1331

centered difference1 := sub(3, -43/11)

centered difference1 = 76/11

centered square1 := square(76/11)

centered square1 = 5776/121

centered contribution1 := mul(2/11, 5776/121)

centered contribution1 = 11552/1331

centered difference2 := sub(15, -43/11)

centered difference2 = 208/11

centered square2 := square(208/11)

centered square2 = 43264/121

centered contribution2 := mul(1/11, 43264/121)

centered contribution2 = 43264/1331

[16200/1331, 11552/1331, 43264/1331]

all indexed centered-square contributions retained

variance of the difference := sum(16200/1331, 11552/1331, 43264/1331)

variance of the difference = 6456/121

逐步反向核對

• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance of the difference，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 centered contribution2，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 centered square2，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 centered difference2，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 centered contribution1，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 centered square1，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 centered difference1，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 centered contribution0，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 centered square0，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 centered difference0，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 target variable mean，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 target variable weighted value2，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 target variable weighted value1，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 target variable weighted value0，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 pointwise difference2，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 pointwise difference1，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 pointwise difference0，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 probability weight2，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 probability weight1，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 probability weight0，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 total mass numerator，不以小數近似替代。

結論

6456/121

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。