第 4549 題：共模型差變數的概率變異數

原題與已知條件

有限歸一化模型；S={0,…,2}，F=𝒫(S)，質量=[24, 2, 1]、D=27，權重為質量/D；X值=[-23, 2, 24]、Y值=[1, -1, -23]，X與Y共用S和權重，不假設獨立。求 Var(X−Y)，不要拆作Var(X)+Var(Y)。

• G001 — 有限歸一化模型；S={0,…,2}，F=𝒫(S)，質量=[24, 2, 1]、D=27，權重為質量/D；X值=[-23, 2, 24]、Y值=[1, -1, -23]，X與Y共用S和權重，不假設獨立。求 Var(X−Y)，不要拆作Var(X)+Var(Y)。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-variance

逐步推導

total mass numerator := sum(24, 2, 1)

total mass numerator = 27

probability weight0 := div(24, 27)

probability weight0 = 8/9

probability weight1 := div(2, 27)

probability weight1 = 2/27

probability weight2 := div(1, 27)

probability weight2 = 1/27

values=[-23, 2, 24];weights=[8/9, 2/27, 1/27]

known finite probability law,not a sampled estimate

pointwise difference0 := sub(-23, 1)

pointwise difference0 = -24

pointwise difference1 := sub(2, -1)

pointwise difference1 = 3

pointwise difference2 := sub(24, -23)

pointwise difference2 = 47

[-24, 3, 47]

compute the variance of this shared-model difference

target variable weighted value0 := mul(8/9, -24)

target variable weighted value0 = -64/3

target variable weighted value1 := mul(2/27, 3)

target variable weighted value1 = 2/9

target variable weighted value2 := mul(1/27, 47)

target variable weighted value2 = 47/27

target variable mean := sum(-64/3, 2/9, 47/27)

target variable mean = -523/27

centered difference0 := sub(-24, -523/27)

centered difference0 = -125/27

centered square0 := square(-125/27)

centered square0 = 15625/729

centered contribution0 := mul(8/9, 15625/729)

centered contribution0 = 125000/6561

centered difference1 := sub(3, -523/27)

centered difference1 = 604/27

centered square1 := square(604/27)

centered square1 = 364816/729

centered contribution1 := mul(2/27, 364816/729)

centered contribution1 = 729632/19683

centered difference2 := sub(47, -523/27)

centered difference2 = 1792/27

centered square2 := square(1792/27)

centered square2 = 3211264/729

centered contribution2 := mul(1/27, 3211264/729)

centered contribution2 = 3211264/19683

[125000/6561, 729632/19683, 3211264/19683]

all indexed centered-square contributions retained

variance of the difference := sum(125000/6561, 729632/19683, 3211264/19683)

variance of the difference = 159848/729

逐步反向核對

• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance of the difference，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 centered contribution2，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 centered square2，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 centered difference2，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 centered contribution1，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 centered square1，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 centered difference1，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 centered contribution0，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 centered square0，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 centered difference0，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 target variable mean，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 target variable weighted value2，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 target variable weighted value1，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 target variable weighted value0，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 pointwise difference2，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 pointwise difference1，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 pointwise difference0，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 probability weight2，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 probability weight1，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 probability weight0，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 total mass numerator，不以小數近似替代。

結論

159848/729

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。