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第 5099 題：有限集合的完整冪集

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

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R0009-05099 · q-20261008-advance-20261011-r04-set-0099

原題與已知條件

有限整數集合；A=[-23, 0, 1, 23]。列全部子集合；各子集遞增，外層先按大小再按數值字典序，空集合的冪集仍含空子集。

  • G001 — 有限整數集合；A=[-23, 0, 1, 23]。列全部子集合；各子集遞增，外層先按大小再按數值字典序，空集合的冪集仍含空子集。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

raw integer list=[-23, 0, 1, 23]

操作後

extensional set=[-23, 0, 1, 23]

條件：無

集合只看有哪些元素；去重及數值排序不改隸屬，並保留原始清單作來源。

步驟識別與依賴

規則：set_extensionality_normalization · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

no elements processed

操作後

[[]]

條件：無

空集合仍有一個子集合，就是空集本身；冪集不是空清單。

步驟識別與依賴

規則：power_set_empty_initial · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

processed subset=[];next element=-23

操作後

omit=[];include=[-23]

條件：無

按是否包含新元素分兩個互不交分支；每個子集合恰在一支出現一次。

步驟識別與依賴

規則：power_set_include_omit_branch · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

processed subset=[];next element=0

操作後

omit=[];include=[0]

條件：無

按是否包含新元素分兩個互不交分支；每個子集合恰在一支出現一次。

步驟識別與依賴

規則：power_set_include_omit_branch · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

processed subset=[-23];next element=0

操作後

omit=[-23];include=[-23, 0]

條件：無

按是否包含新元素分兩個互不交分支；每個子集合恰在一支出現一次。

步驟識別與依賴

規則：power_set_include_omit_branch · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

processed subset=[];next element=1

操作後

omit=[];include=[1]

條件：無

按是否包含新元素分兩個互不交分支；每個子集合恰在一支出現一次。

步驟識別與依賴

規則：power_set_include_omit_branch · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

processed subset=[-23];next element=1

操作後

omit=[-23];include=[-23, 1]

條件：無

按是否包含新元素分兩個互不交分支；每個子集合恰在一支出現一次。

步驟識別與依賴

規則：power_set_include_omit_branch · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

processed subset=[0];next element=1

操作後

omit=[0];include=[0, 1]

條件：無

按是否包含新元素分兩個互不交分支；每個子集合恰在一支出現一次。

步驟識別與依賴

規則：power_set_include_omit_branch · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

processed subset=[-23, 0];next element=1

操作後

omit=[-23, 0];include=[-23, 0, 1]

條件：無

按是否包含新元素分兩個互不交分支；每個子集合恰在一支出現一次。

步驟識別與依賴

規則：power_set_include_omit_branch · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

processed subset=[];next element=23

操作後

omit=[];include=[23]

條件：無

按是否包含新元素分兩個互不交分支；每個子集合恰在一支出現一次。

步驟識別與依賴

規則：power_set_include_omit_branch · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

processed subset=[-23];next element=23

操作後

omit=[-23];include=[-23, 23]

條件：無

按是否包含新元素分兩個互不交分支；每個子集合恰在一支出現一次。

步驟識別與依賴

規則：power_set_include_omit_branch · 依賴：G001, S010

S012 · implies

操作前

processed subset=[0];next element=23

操作後

omit=[0];include=[0, 23]

條件：無

按是否包含新元素分兩個互不交分支；每個子集合恰在一支出現一次。

步驟識別與依賴

規則：power_set_include_omit_branch · 依賴：G001, S011

S013 · implies

操作前

processed subset=[-23, 0];next element=23

操作後

omit=[-23, 0];include=[-23, 0, 23]

條件：無

按是否包含新元素分兩個互不交分支；每個子集合恰在一支出現一次。

步驟識別與依賴

規則：power_set_include_omit_branch · 依賴：G001, S012

S014 · implies

操作前

processed subset=[1];next element=23

操作後

omit=[1];include=[1, 23]

條件：無

按是否包含新元素分兩個互不交分支；每個子集合恰在一支出現一次。

步驟識別與依賴

規則：power_set_include_omit_branch · 依賴：G001, S013

S015 · implies

操作前

processed subset=[-23, 1];next element=23

操作後

omit=[-23, 1];include=[-23, 1, 23]

條件：無

按是否包含新元素分兩個互不交分支；每個子集合恰在一支出現一次。

步驟識別與依賴

規則：power_set_include_omit_branch · 依賴：G001, S014

S016 · implies

操作前

processed subset=[0, 1];next element=23

操作後

omit=[0, 1];include=[0, 1, 23]

條件：無

按是否包含新元素分兩個互不交分支；每個子集合恰在一支出現一次。

步驟識別與依賴

規則：power_set_include_omit_branch · 依賴：G001, S015

S017 · implies

操作前

processed subset=[-23, 0, 1];next element=23

操作後

omit=[-23, 0, 1];include=[-23, 0, 1, 23]

條件：無

按是否包含新元素分兩個互不交分支；每個子集合恰在一支出現一次。

步驟識別與依賴

規則：power_set_include_omit_branch · 依賴：G001, S016

S018 · implies

操作前

(2)^4

操作後

power-set cardinality = 16

條件：無

以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。

步驟識別與依賴

規則：integer_power · 依賴：G001, S017

S019 · implies

操作前

[[], [-23], [0], [1], [23], [-23, 0], [-23, 1], [-23, 23], [0, 1], [0, 23], [1, 23], [-23, 0, 1], [-23, 0, 23], [-23, 1, 23], [0, 1, 23], [-23, 0, 1, 23]]

操作後

all 16 subsets in size-then-numeric-lex order

條件：無

外層先按大小再按數值字典序，各子集內部遞增；只構造給定有限A的全部子集，不作無限制概括。

步驟識別與依賴

規則：finite_power_set_completeness · 依賴：G001, S018

逐步反向核對

  • S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

[[], [-23], [0], [1], [23], [-23, 0], [-23, 1], [-23, 23], [0, 1], [0, 23], [1, 23], [-23, 0, 1], [-23, 0, 23], [-23, 1, 23], [0, 1, 23], [-23, 0, 1, 23]]

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: 67ecc59a3e285e5687dddb40f575e55847354db9a0966ecd3a6df34b7a43c9fc
  • candidate record SHA-256: 3d1623bddc7d32231e0c92f35ea30fb61834b2d0bc6039e67cbfe567e6dc7f03
  • semantic review receipt SHA-256: 71e7db519df31f3a164533e472e293cb64f001b475a8d002b4a5c2740a237b56
  • question-first witness SHA-256: 5a43f4f81b6256281f8d139a4010bbde127be803c528e5878857269c8f854462
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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