S001 · implies
操作前
natural indices start at0;finite induction protocol
操作後
index bookkeeping and finite values are not proofs of all P(n)
條件：無
自然數索引不要求序列值非負；有限範圍或後繼索引的核對不自動提供命題真值或所有自然數的歸納證明。
步驟識別與依賴
規則：finite_induction_claim_boundary · 依賴：G001
第 5408 題：整數值遞推的有限前綴
R0009-05408 · q-20261008-advance-20261012-r01-mathematical-induction-0033
原題與已知條件
N從0起；有限歸納協議；a(0)=-5、a(k+1)=a(k)+(0)，through=8。列a(0)至a(through)，含兩端。
G001— N從0起；有限歸納協議；a(0)=-5、a(k+1)=a(k)+(0)，through=8。列a(0)至a(through)，含兩端。
定義與適用範圍
沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
逐步推導
S002 · implies
操作前
a(0)=-5;through=8
操作後
[-5]
條件：無
先列給定初值，through=0時只保留它。
步驟識別與依賴
規則：recurrence_prefix_base · 依賴：G001, S001
S003 · calculation
操作前
recurrence next value1 := sum(-5, 0)
操作後
recurrence next value1 = -5
條件：無
用上一項加明示d，負步長或負項也合法。
步驟識別與依賴
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002
S004 · implies
操作前
a(0)=-5;d=0
操作後
a(1)=-5
條件：無
每一步使用最新前項，不重用初值；這是所求有限前綴的遞推。
步驟識別與依賴
規則：finite_recurrence_transition · 依賴：G001, S003
S005 · calculation
操作前
recurrence next value2 := sum(-5, 0)
操作後
recurrence next value2 = -5
條件：無
用上一項加明示d，負步長或負項也合法。
步驟識別與依賴
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004
S006 · implies
操作前
a(1)=-5;d=0
操作後
a(2)=-5
條件：無
每一步使用最新前項，不重用初值；這是所求有限前綴的遞推。
步驟識別與依賴
規則：finite_recurrence_transition · 依賴：G001, S005
S007 · calculation
操作前
recurrence next value3 := sum(-5, 0)
操作後
recurrence next value3 = -5
條件：無
用上一項加明示d，負步長或負項也合法。
步驟識別與依賴
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006
S008 · implies
操作前
a(2)=-5;d=0
操作後
a(3)=-5
條件：無
每一步使用最新前項，不重用初值；這是所求有限前綴的遞推。
步驟識別與依賴
規則：finite_recurrence_transition · 依賴：G001, S007
S009 · calculation
操作前
recurrence next value4 := sum(-5, 0)
操作後
recurrence next value4 = -5
條件：無
用上一項加明示d，負步長或負項也合法。
步驟識別與依賴
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008
S010 · implies
操作前
a(3)=-5;d=0
操作後
a(4)=-5
條件：無
每一步使用最新前項，不重用初值；這是所求有限前綴的遞推。
步驟識別與依賴
規則：finite_recurrence_transition · 依賴：G001, S009
S011 · calculation
操作前
recurrence next value5 := sum(-5, 0)
操作後
recurrence next value5 = -5
條件：無
用上一項加明示d，負步長或負項也合法。
步驟識別與依賴
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010
S012 · implies
操作前
a(4)=-5;d=0
操作後
a(5)=-5
條件：無
每一步使用最新前項，不重用初值；這是所求有限前綴的遞推。
步驟識別與依賴
規則：finite_recurrence_transition · 依賴：G001, S011
S013 · calculation
操作前
recurrence next value6 := sum(-5, 0)
操作後
recurrence next value6 = -5
條件：無
用上一項加明示d，負步長或負項也合法。
步驟識別與依賴
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012
S014 · implies
操作前
a(5)=-5;d=0
操作後
a(6)=-5
條件：無
每一步使用最新前項，不重用初值；這是所求有限前綴的遞推。
步驟識別與依賴
規則：finite_recurrence_transition · 依賴：G001, S013
S015 · calculation
操作前
recurrence next value7 := sum(-5, 0)
操作後
recurrence next value7 = -5
條件：無
用上一項加明示d，負步長或負項也合法。
步驟識別與依賴
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014
S016 · implies
操作前
a(6)=-5;d=0
操作後
a(7)=-5
條件：無
每一步使用最新前項，不重用初值；這是所求有限前綴的遞推。
步驟識別與依賴
規則：finite_recurrence_transition · 依賴：G001, S015
S017 · calculation
操作前
recurrence next value8 := sum(-5, 0)
操作後
recurrence next value8 = -5
條件：無
用上一項加明示d，負步長或負項也合法。
步驟識別與依賴
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016
S018 · implies
操作前
a(7)=-5;d=0
操作後
a(8)=-5
條件：無
每一步使用最新前項，不重用初值；這是所求有限前綴的遞推。
步驟識別與依賴
規則：finite_recurrence_transition · 依賴：G001, S017
逐步反向核對
S018· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S017· premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence next value8，不以小數近似替代。S016· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S015· premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence next value7，不以小數近似替代。S014· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S013· premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence next value6，不以小數近似替代。S012· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S011· premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence next value5，不以小數近似替代。S010· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S009· premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence next value4，不以小數近似替代。S008· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S007· premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence next value3，不以小數近似替代。S006· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S005· premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence next value2，不以小數近似替代。S004· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S003· premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence next value1，不以小數近似替代。S002· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S001· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
結論
[-5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5]
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
本題覆核與來源綁定
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
來源雜湊與覆核憑證
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: f73ac7eec4b420ad7028b22e9375d16d22384627625e8a1aa7e06fef167ecc10candidate record SHA-256: da9e8cbfbdea8d758da475d2172715e4f0be5109be209a4c81ff8c81872a606fsemantic review receipt SHA-256: 71e7db519df31f3a164533e472e293cb64f001b475a8d002b4a5c2740a237b56question-first witness SHA-256: 5a43f4f81b6256281f8d139a4010bbde127be803c528e5878857269c8f854462Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED