第 30154 題：兩段有序整數主距離

原題與已知條件

等單位正交L2；同一實平面與長度單位；點P、Q、R依序為 [[0, 0], [3, 4], [8, 16]]，兩段平方和均為完全平方。依序求 (d(P,Q), d(Q,R)) 的整數主距離。

• G001 — 等單位正交L2；同一實平面與長度單位；點P、Q、R依序為 [[0, 0], [3, 4], [8, 16]]，兩段平方和均為完全平方。依序求 (d(P,Q), d(Q,R)) 的整數主距離。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-euclidean-length

逐步推導

source roles = [qf-density12-length-integer-distance-pair, density12_length_integer_distance_pair, integer_euclidean_plane]

derived = [[nonnegative_distance_PQ, nonnegative_distance_QR]]

Length segment0 ORIGINAL Q minus P coordinate0 := sub(3, 0)

Length segment0 ORIGINAL Q minus P coordinate0 = 3

Length segment0 ORIGINAL Q minus P coordinate1 := sub(4, 0)

Length segment0 ORIGINAL Q minus P coordinate1 = 4

Length segment0 ORIGINAL square coordinate0 := mul(3, 3)

Length segment0 ORIGINAL square coordinate0 = 9

Length segment0 ORIGINAL square coordinate1 := mul(4, 4)

Length segment0 ORIGINAL square coordinate1 = 16

Length segment0 ORIGINAL squared norm sum := sum(9, 16)

Length segment0 ORIGINAL squared norm sum = 25

source roles = [Length segment0, [0, 0], [3, 4]]

derived = [[3, 4], 25]

Length segment0 candidate nonnegative root squared := mul(5, 5)

Length segment0 candidate nonnegative root squared = 25

Length segment0 candidate next integer := sum(5, 1)

Length segment0 candidate next integer = 6

Length segment0 next integer squared := mul(6, 6)

Length segment0 next integer squared = 36

source roles = [Length segment0, 25]

derived = [5, 25, 36, 是]

Length segment1 ORIGINAL Q minus P coordinate0 := sub(8, 3)

Length segment1 ORIGINAL Q minus P coordinate0 = 5

Length segment1 ORIGINAL Q minus P coordinate1 := sub(16, 4)

Length segment1 ORIGINAL Q minus P coordinate1 = 12

Length segment1 ORIGINAL square coordinate0 := mul(5, 5)

Length segment1 ORIGINAL square coordinate0 = 25

Length segment1 ORIGINAL square coordinate1 := mul(12, 12)

Length segment1 ORIGINAL square coordinate1 = 144

Length segment1 ORIGINAL squared norm sum := sum(25, 144)

Length segment1 ORIGINAL squared norm sum = 169

source roles = [Length segment1, [3, 4], [8, 16]]

derived = [[5, 12], 169]

Length segment1 candidate nonnegative root squared := mul(13, 13)

Length segment1 candidate nonnegative root squared = 169

Length segment1 candidate next integer := sum(13, 1)

Length segment1 candidate next integer = 14

Length segment1 next integer squared := mul(14, 14)

Length segment1 next integer squared = 196

source roles = [Length segment1, 169]

derived = [13, 169, 196, 是]

source roles = [[[0, 0], [3, 4], [8, 16]]]

derived = [[5, 13]]

逐步反向核對

• S022 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。
• S021 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Length segment1 next integer squared，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Length segment1 candidate next integer，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Length segment1 candidate nonnegative root squared，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Length segment1 ORIGINAL squared norm sum，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Length segment1 ORIGINAL square coordinate1，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Length segment1 ORIGINAL square coordinate0，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Length segment1 ORIGINAL Q minus P coordinate1，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Length segment1 ORIGINAL Q minus P coordinate0，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Length segment0 next integer squared，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Length segment0 candidate next integer，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Length segment0 candidate nonnegative root squared，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Length segment0 ORIGINAL squared norm sum，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Length segment0 ORIGINAL square coordinate1，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Length segment0 ORIGINAL square coordinate0，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Length segment0 ORIGINAL Q minus P coordinate1，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Length segment0 ORIGINAL Q minus P coordinate0，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。

結論

(5, 13)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。