第 30189 題：中點座標及兩段平方

原題與已知條件

等單位正交L2；同一實平面與長度單位；P=[-13, 1]、Q=[14, 15]，M是中點。依序求 (Mx, My, d(P,M)², d(M,Q)²)，四項均用最簡正分母分數，後兩項明示為平方。

• G001 — 等單位正交L2；同一實平面與長度單位；P=[-13, 1]、Q=[14, 15]，M是中點。依序求 (Mx, My, d(P,M)², d(M,Q)²)，四項均用最簡正分母分數，後兩項明示為平方。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-euclidean-length

逐步推導

source roles = [qf-density12-length-midpoint-equidistance, density12_length_midpoint_equidistance, integer_euclidean_plane]

derived = [[midpoint_x, midpoint_y, SQUARED_PM, SQUARED_MQ]]

Length original PQ ORIGINAL Q minus P coordinate0 := sub(14, -13)

Length original PQ ORIGINAL Q minus P coordinate0 = 27

Length original PQ ORIGINAL Q minus P coordinate1 := sub(15, 1)

Length original PQ ORIGINAL Q minus P coordinate1 = 14

Length original PQ ORIGINAL square coordinate0 := mul(27, 27)

Length original PQ ORIGINAL square coordinate0 = 729

Length original PQ ORIGINAL square coordinate1 := mul(14, 14)

Length original PQ ORIGINAL square coordinate1 = 196

Length original PQ ORIGINAL squared norm sum := sum(729, 196)

Length original PQ ORIGINAL squared norm sum = 925

source roles = [Length original PQ, [-13, 1], [14, 15]]

derived = [[27, 14], 925]

Midpoint ORIGINAL endpoint sum coordinate0 := sum(-13, 14)

Midpoint ORIGINAL endpoint sum coordinate0 = 1

Midpoint ORIGINAL average coordinate0 := div(1, 2)

Midpoint ORIGINAL average coordinate0 = 1/2

Midpoint ORIGINAL endpoint sum coordinate1 := sum(1, 15)

Midpoint ORIGINAL endpoint sum coordinate1 = 16

Midpoint ORIGINAL average coordinate1 := div(16, 2)

Midpoint ORIGINAL average coordinate1 = 8

Midpoint ORIGINAL full squared length over four := div(925, 4)

Midpoint ORIGINAL full squared length over four = 925/4

Midpoint reverse PM displacement coordinate0 := sub(1/2, -13)

Midpoint reverse PM displacement coordinate0 = 27/2

Midpoint reverse PM displacement coordinate1 := sub(8, 1)

Midpoint reverse PM displacement coordinate1 = 7

Midpoint reverse PM coordinate0 square := mul(27/2, 27/2)

Midpoint reverse PM coordinate0 square = 729/4

Midpoint reverse PM coordinate1 square := mul(7, 7)

Midpoint reverse PM coordinate1 square = 49

Midpoint reverse PM squared sum := sum(729/4, 49)

Midpoint reverse PM squared sum = 925/4

Midpoint reverse MQ displacement coordinate0 := sub(14, 1/2)

Midpoint reverse MQ displacement coordinate0 = 27/2

Midpoint reverse MQ displacement coordinate1 := sub(15, 8)

Midpoint reverse MQ displacement coordinate1 = 7

Midpoint reverse MQ coordinate0 square := mul(27/2, 27/2)

Midpoint reverse MQ coordinate0 square = 729/4

Midpoint reverse MQ coordinate1 square := mul(7, 7)

Midpoint reverse MQ coordinate1 square = 49

Midpoint reverse MQ squared sum := sum(729/4, 49)

Midpoint reverse MQ squared sum = 925/4

source roles = [[-13, 1], [14, 15], [1/2, 8/1], 925]

derived = [925/4, 925/4, 925/4]

逐步反向核對

• S023 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Midpoint reverse MQ squared sum，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Midpoint reverse MQ coordinate1 square，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Midpoint reverse MQ coordinate0 square，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Midpoint reverse MQ displacement coordinate1，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Midpoint reverse MQ displacement coordinate0，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Midpoint reverse PM squared sum，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Midpoint reverse PM coordinate1 square，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Midpoint reverse PM coordinate0 square，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Midpoint reverse PM displacement coordinate1，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Midpoint reverse PM displacement coordinate0，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Midpoint ORIGINAL full squared length over four，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Midpoint ORIGINAL average coordinate1，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Midpoint ORIGINAL endpoint sum coordinate1，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Midpoint ORIGINAL average coordinate0，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Midpoint ORIGINAL endpoint sum coordinate0，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Length original PQ ORIGINAL squared norm sum，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Length original PQ ORIGINAL square coordinate1，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Length original PQ ORIGINAL square coordinate0，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Length original PQ ORIGINAL Q minus P coordinate1，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Length original PQ ORIGINAL Q minus P coordinate0，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。

結論

(1/2, 8/1, 925/4, 925/4)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。