第 30198 題：中點座標及兩段平方

原題與已知條件

等單位正交L2；同一實平面與長度單位；P=[-22, 1]、Q=[23, 24]，M是中點。依序求 (Mx, My, d(P,M)², d(M,Q)²)，四項均用最簡正分母分數，後兩項明示為平方。

• G001 — 等單位正交L2；同一實平面與長度單位；P=[-22, 1]、Q=[23, 24]，M是中點。依序求 (Mx, My, d(P,M)², d(M,Q)²)，四項均用最簡正分母分數，後兩項明示為平方。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-euclidean-length

逐步推導

source roles = [qf-density12-length-midpoint-equidistance, density12_length_midpoint_equidistance, integer_euclidean_plane]

derived = [[midpoint_x, midpoint_y, SQUARED_PM, SQUARED_MQ]]

Length original PQ ORIGINAL Q minus P coordinate0 := sub(23, -22)

Length original PQ ORIGINAL Q minus P coordinate0 = 45

Length original PQ ORIGINAL Q minus P coordinate1 := sub(24, 1)

Length original PQ ORIGINAL Q minus P coordinate1 = 23

Length original PQ ORIGINAL square coordinate0 := mul(45, 45)

Length original PQ ORIGINAL square coordinate0 = 2025

Length original PQ ORIGINAL square coordinate1 := mul(23, 23)

Length original PQ ORIGINAL square coordinate1 = 529

Length original PQ ORIGINAL squared norm sum := sum(2025, 529)

Length original PQ ORIGINAL squared norm sum = 2554

source roles = [Length original PQ, [-22, 1], [23, 24]]

derived = [[45, 23], 2554]

Midpoint ORIGINAL endpoint sum coordinate0 := sum(-22, 23)

Midpoint ORIGINAL endpoint sum coordinate0 = 1

Midpoint ORIGINAL average coordinate0 := div(1, 2)

Midpoint ORIGINAL average coordinate0 = 1/2

Midpoint ORIGINAL endpoint sum coordinate1 := sum(1, 24)

Midpoint ORIGINAL endpoint sum coordinate1 = 25

Midpoint ORIGINAL average coordinate1 := div(25, 2)

Midpoint ORIGINAL average coordinate1 = 25/2

Midpoint ORIGINAL full squared length over four := div(2554, 4)

Midpoint ORIGINAL full squared length over four = 1277/2

Midpoint reverse PM displacement coordinate0 := sub(1/2, -22)

Midpoint reverse PM displacement coordinate0 = 45/2

Midpoint reverse PM displacement coordinate1 := sub(25/2, 1)

Midpoint reverse PM displacement coordinate1 = 23/2

Midpoint reverse PM coordinate0 square := mul(45/2, 45/2)

Midpoint reverse PM coordinate0 square = 2025/4

Midpoint reverse PM coordinate1 square := mul(23/2, 23/2)

Midpoint reverse PM coordinate1 square = 529/4

Midpoint reverse PM squared sum := sum(2025/4, 529/4)

Midpoint reverse PM squared sum = 1277/2

Midpoint reverse MQ displacement coordinate0 := sub(23, 1/2)

Midpoint reverse MQ displacement coordinate0 = 45/2

Midpoint reverse MQ displacement coordinate1 := sub(24, 25/2)

Midpoint reverse MQ displacement coordinate1 = 23/2

Midpoint reverse MQ coordinate0 square := mul(45/2, 45/2)

Midpoint reverse MQ coordinate0 square = 2025/4

Midpoint reverse MQ coordinate1 square := mul(23/2, 23/2)

Midpoint reverse MQ coordinate1 square = 529/4

Midpoint reverse MQ squared sum := sum(2025/4, 529/4)

Midpoint reverse MQ squared sum = 1277/2

source roles = [[-22, 1], [23, 24], [1/2, 25/2], 2554]

derived = [1277/2, 1277/2, 1277/2]

逐步反向核對

• S023 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Midpoint reverse MQ squared sum，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Midpoint reverse MQ coordinate1 square，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Midpoint reverse MQ coordinate0 square，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Midpoint reverse MQ displacement coordinate1，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Midpoint reverse MQ displacement coordinate0，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Midpoint reverse PM squared sum，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Midpoint reverse PM coordinate1 square，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Midpoint reverse PM coordinate0 square，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Midpoint reverse PM displacement coordinate1，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Midpoint reverse PM displacement coordinate0，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Midpoint ORIGINAL full squared length over four，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Midpoint ORIGINAL average coordinate1，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Midpoint ORIGINAL endpoint sum coordinate1，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Midpoint ORIGINAL average coordinate0，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Midpoint ORIGINAL endpoint sum coordinate0，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Length original PQ ORIGINAL squared norm sum，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Length original PQ ORIGINAL square coordinate1，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Length original PQ ORIGINAL square coordinate0，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Length original PQ ORIGINAL Q minus P coordinate1，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Length original PQ ORIGINAL Q minus P coordinate0，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。

結論

(1/2, 25/2, 1277/2, 1277/2)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。