第 30478 題：三點殘差與圓邊界資格

原題與已知條件

圓邊界不是圓盤；非負整數半徑；歐氏等單位正交L2；O=[1, -1]、r=2，points=[[1, -1], [3, -1], [4, 0]]。依序列 (三個平方距離D, 三個D−r², 內／圓上／外, 圓邊界資格)。

• G001 — 圓邊界不是圓盤；非負整數半徑；歐氏等單位正交L2；O=[1, -1]、r=2，points=[[1, -1], [3, -1], [4, 0]]。依序列 (三個平方距離D, 三個D−r², 內／圓上／外, 圓邊界資格)。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-circle

逐步推導

source roles = [qf-density14-circle-offset-residual-triple, density14_circle_offset_residual_triple, finite_integer_circle_boundary_protocol]

derived = [[ALL_squared_distances, ALL_signed_residuals, ALL_location_labels, ALL_boundary_flags]]

Circle ORIGINAL nonnegative radius squared := mul(2, 2)

Circle ORIGINAL nonnegative radius squared = 4

source roles = [2, orthogonal_equal_unit]

derived = [4]

Circle ORIGINAL center to point0 ORIGINAL Q minus P coordinate0 := sub(1, 1)

Circle ORIGINAL center to point0 ORIGINAL Q minus P coordinate0 = 0

Circle ORIGINAL center to point0 ORIGINAL Q minus P coordinate1 := sub(-1, -1)

Circle ORIGINAL center to point0 ORIGINAL Q minus P coordinate1 = 0

Circle ORIGINAL center to point0 ORIGINAL square coordinate0 := mul(0, 0)

Circle ORIGINAL center to point0 ORIGINAL square coordinate0 = 0

Circle ORIGINAL center to point0 ORIGINAL square coordinate1 := mul(0, 0)

Circle ORIGINAL center to point0 ORIGINAL square coordinate1 = 0

Circle ORIGINAL center to point0 ORIGINAL squared norm sum := sum(0, 0)

Circle ORIGINAL center to point0 ORIGINAL squared norm sum = 0

source roles = [Circle ORIGINAL center to point0, [1, -1], [1, -1]]

derived = [[0, 0], 0]

Circle ORIGINAL point0 square minus radius square := sub(0, 4)

Circle ORIGINAL point0 square minus radius square = -4

source roles = [[1, -1], 2, [1, -1], 0, -4]

derived = [內, 否]

Circle ORIGINAL center to point1 ORIGINAL Q minus P coordinate0 := sub(3, 1)

Circle ORIGINAL center to point1 ORIGINAL Q minus P coordinate0 = 2

Circle ORIGINAL center to point1 ORIGINAL Q minus P coordinate1 := sub(-1, -1)

Circle ORIGINAL center to point1 ORIGINAL Q minus P coordinate1 = 0

Circle ORIGINAL center to point1 ORIGINAL square coordinate0 := mul(2, 2)

Circle ORIGINAL center to point1 ORIGINAL square coordinate0 = 4

Circle ORIGINAL center to point1 ORIGINAL square coordinate1 := mul(0, 0)

Circle ORIGINAL center to point1 ORIGINAL square coordinate1 = 0

Circle ORIGINAL center to point1 ORIGINAL squared norm sum := sum(4, 0)

Circle ORIGINAL center to point1 ORIGINAL squared norm sum = 4

source roles = [Circle ORIGINAL center to point1, [1, -1], [3, -1]]

derived = [[2, 0], 4]

Circle ORIGINAL point1 square minus radius square := sub(4, 4)

Circle ORIGINAL point1 square minus radius square = 0

source roles = [[1, -1], 2, [3, -1], 4, 0]

derived = [圓上, 是]

Circle ORIGINAL center to point2 ORIGINAL Q minus P coordinate0 := sub(4, 1)

Circle ORIGINAL center to point2 ORIGINAL Q minus P coordinate0 = 3

Circle ORIGINAL center to point2 ORIGINAL Q minus P coordinate1 := sub(0, -1)

Circle ORIGINAL center to point2 ORIGINAL Q minus P coordinate1 = 1

Circle ORIGINAL center to point2 ORIGINAL square coordinate0 := mul(3, 3)

Circle ORIGINAL center to point2 ORIGINAL square coordinate0 = 9

Circle ORIGINAL center to point2 ORIGINAL square coordinate1 := mul(1, 1)

Circle ORIGINAL center to point2 ORIGINAL square coordinate1 = 1

Circle ORIGINAL center to point2 ORIGINAL squared norm sum := sum(9, 1)

Circle ORIGINAL center to point2 ORIGINAL squared norm sum = 10

source roles = [Circle ORIGINAL center to point2, [1, -1], [4, 0]]

derived = [[3, 1], 10]

Circle ORIGINAL point2 square minus radius square := sub(10, 4)

Circle ORIGINAL point2 square minus radius square = 6

source roles = [[1, -1], 2, [4, 0], 10, 6]

derived = [外, 否]

逐步反向核對

• S027 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Circle ORIGINAL point2 square minus radius square，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Circle ORIGINAL center to point2 ORIGINAL squared norm sum，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Circle ORIGINAL center to point2 ORIGINAL square coordinate1，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Circle ORIGINAL center to point2 ORIGINAL square coordinate0，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Circle ORIGINAL center to point2 ORIGINAL Q minus P coordinate1，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Circle ORIGINAL center to point2 ORIGINAL Q minus P coordinate0，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Circle ORIGINAL point1 square minus radius square，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Circle ORIGINAL center to point1 ORIGINAL squared norm sum，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Circle ORIGINAL center to point1 ORIGINAL square coordinate1，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Circle ORIGINAL center to point1 ORIGINAL square coordinate0，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Circle ORIGINAL center to point1 ORIGINAL Q minus P coordinate1，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Circle ORIGINAL center to point1 ORIGINAL Q minus P coordinate0，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Circle ORIGINAL point0 square minus radius square，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Circle ORIGINAL center to point0 ORIGINAL squared norm sum，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Circle ORIGINAL center to point0 ORIGINAL square coordinate1，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Circle ORIGINAL center to point0 ORIGINAL square coordinate0，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Circle ORIGINAL center to point0 ORIGINAL Q minus P coordinate1，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Circle ORIGINAL center to point0 ORIGINAL Q minus P coordinate0，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Circle ORIGINAL nonnegative radius squared，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。

結論

([0, 4, 10], [-4, 0, 6], [內, 圓上, 外], [否, 是, 否])

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。