第 30428 題：軸向對徑端點與直徑

原題與已知條件

圓邊界不是圓盤；非負整數半徑；歐氏等單位正交L2；O=[0, -10]、r=2、axis=x。依序求 (正軸端點, 負軸端點, 端點平方距離, 直徑)。零半徑兩端同一點。

• G001 — 圓邊界不是圓盤；非負整數半徑；歐氏等單位正交L2；O=[0, -10]、r=2、axis=x。依序求 (正軸端點, 負軸端點, 端點平方距離, 直徑)。零半徑兩端同一點。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-circle

逐步推導

source roles = [qf-density14-circle-axis-antipodal-pair, density14_circle_axis_antipodal_pair, finite_integer_circle_boundary_protocol]

derived = [[PLUS_axis_endpoint, MINUS_axis_endpoint, SQUARED_separation, diameter]]

Circle ORIGINAL nonnegative radius squared := mul(2, 2)

Circle ORIGINAL nonnegative radius squared = 4

source roles = [2, orthogonal_equal_unit]

derived = [4]

Circle ORIGINAL positive-axis endpoint := sum(0, 2)

Circle ORIGINAL positive-axis endpoint = 2

Circle ORIGINAL negative-axis endpoint := sub(0, 2)

Circle ORIGINAL negative-axis endpoint = -2

Circle antipodal endpoints ORIGINAL Q minus P coordinate0 := sub(-2, 2)

Circle antipodal endpoints ORIGINAL Q minus P coordinate0 = -4

Circle antipodal endpoints ORIGINAL Q minus P coordinate1 := sub(-10, -10)

Circle antipodal endpoints ORIGINAL Q minus P coordinate1 = 0

Circle antipodal endpoints ORIGINAL square coordinate0 := mul(-4, -4)

Circle antipodal endpoints ORIGINAL square coordinate0 = 16

Circle antipodal endpoints ORIGINAL square coordinate1 := mul(0, 0)

Circle antipodal endpoints ORIGINAL square coordinate1 = 0

Circle antipodal endpoints ORIGINAL squared norm sum := sum(16, 0)

Circle antipodal endpoints ORIGINAL squared norm sum = 16

source roles = [Circle antipodal endpoints, [2, -10], [-2, -10]]

derived = [[-4, 0], 16]

Circle ORIGINAL diameter twice radius := mul(2, 2)

Circle ORIGINAL diameter twice radius = 4

Circle reverse diameter squared := mul(4, 4)

Circle reverse diameter squared = 16

source roles = [[0, -10], 2, x]

derived = [[2, -10], [-2, -10], 16, 4]

逐步反向核對

• S014 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Circle reverse diameter squared，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Circle ORIGINAL diameter twice radius，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Circle antipodal endpoints ORIGINAL squared norm sum，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Circle antipodal endpoints ORIGINAL square coordinate1，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Circle antipodal endpoints ORIGINAL square coordinate0，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Circle antipodal endpoints ORIGINAL Q minus P coordinate1，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Circle antipodal endpoints ORIGINAL Q minus P coordinate0，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Circle ORIGINAL negative-axis endpoint，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Circle ORIGINAL positive-axis endpoint，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Circle ORIGINAL nonnegative radius squared，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。

結論

([2, -10], [-2, -10], 16, 4)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。