第 30657 題：兩序仿射合成的差

原題與已知條件

先f後g，明示中間域。Q總函數f(x)=(5)x+(-1)，g(x)=(-2)x+(1)，有序輸入=[(0)/(1), (1)/(2), (-1)/(1)]。求 (g∘f的[一次係數,常數]順序, f∘g的[一次係數,常數]順序, 兩序各三個值, g∘f常數減f∘g常數)。

• G001 — 先f後g，明示中間域。Q總函數f(x)=(5)x+(-1)，g(x)=(-2)x+(1)，有序輸入=[(0)/(1), (1)/(2), (-1)/(1)]。求 (g∘f的[一次係數,常數]順序, f∘g的[一次係數,常數]順序, 兩序各三個值, g∘f常數減f∘g常數)。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-composition

逐步推導

source roles = [qf-density15-composition-noncommuting-affine, density15_composition_noncommuting_affine, finite_explicit_composition_protocol]

derived = [[GF_SLOPE_constant, FG_SLOPE_constant, GF_values, FG_values, SIGNED_constant_difference]]

source roles = [Composition original rational input0, [0, 1]]

derived = [0/1]

source roles = [Composition original rational input1, [1, 2]]

derived = [1/2]

source roles = [Composition original rational input2, [-1, 1]]

derived = [-1/1]

Affine GF ORIGINAL c times a slope := mul(-2, 5)

Affine GF ORIGINAL c times a slope = -10

Affine GF ORIGINAL c times b := mul(-2, -1)

Affine GF ORIGINAL c times b = 2

Affine GF ORIGINAL constant cb plus d := sum(2, 1)

Affine GF ORIGINAL constant cb plus d = 3

Affine FG ORIGINAL a times c slope := mul(5, -2)

Affine FG ORIGINAL a times c slope = -10

Affine FG ORIGINAL a times d := mul(5, 1)

Affine FG ORIGINAL a times d = 5

Affine FG ORIGINAL constant ad plus b := sum(5, -1)

Affine FG ORIGINAL constant ad plus b = 4

Affine ORIGINAL f input0 multiply := mul(5, 0)

Affine ORIGINAL f input0 multiply = 0

Affine ORIGINAL f input0 plus b := sum(0, -1)

Affine ORIGINAL f input0 plus b = -1

Affine ORIGINAL g AFTER f input0 multiply := mul(-2, -1)

Affine ORIGINAL g AFTER f input0 multiply = 2

Affine ORIGINAL g AFTER f input0 plus d := sum(2, 1)

Affine ORIGINAL g AFTER f input0 plus d = 3

Affine ORIGINAL g input0 multiply := mul(-2, 0)

Affine ORIGINAL g input0 multiply = 0

Affine ORIGINAL g input0 plus d := sum(0, 1)

Affine ORIGINAL g input0 plus d = 1

Affine ORIGINAL f AFTER g input0 multiply := mul(5, 1)

Affine ORIGINAL f AFTER g input0 multiply = 5

Affine ORIGINAL f AFTER g input0 plus b := sum(5, -1)

Affine ORIGINAL f AFTER g input0 plus b = 4

Affine reverse GF coefficient input0 product := mul(-10, 0)

Affine reverse GF coefficient input0 product = 0

Affine reverse GF coefficient input0 sum := sum(0, 3)

Affine reverse GF coefficient input0 sum = 3

Affine reverse FG coefficient input0 product := mul(-10, 0)

Affine reverse FG coefficient input0 product = 0

Affine reverse FG coefficient input0 sum := sum(0, 4)

Affine reverse FG coefficient input0 sum = 4

Affine ORIGINAL f input1 multiply := mul(5, 1/2)

Affine ORIGINAL f input1 multiply = 5/2

Affine ORIGINAL f input1 plus b := sum(5/2, -1)

Affine ORIGINAL f input1 plus b = 3/2

Affine ORIGINAL g AFTER f input1 multiply := mul(-2, 3/2)

Affine ORIGINAL g AFTER f input1 multiply = -3

Affine ORIGINAL g AFTER f input1 plus d := sum(-3, 1)

Affine ORIGINAL g AFTER f input1 plus d = -2

Affine ORIGINAL g input1 multiply := mul(-2, 1/2)

Affine ORIGINAL g input1 multiply = -1

Affine ORIGINAL g input1 plus d := sum(-1, 1)

Affine ORIGINAL g input1 plus d = 0

Affine ORIGINAL f AFTER g input1 multiply := mul(5, 0)

Affine ORIGINAL f AFTER g input1 multiply = 0

Affine ORIGINAL f AFTER g input1 plus b := sum(0, -1)

Affine ORIGINAL f AFTER g input1 plus b = -1

Affine reverse GF coefficient input1 product := mul(-10, 1/2)

Affine reverse GF coefficient input1 product = -5

Affine reverse GF coefficient input1 sum := sum(-5, 3)

Affine reverse GF coefficient input1 sum = -2

Affine reverse FG coefficient input1 product := mul(-10, 1/2)

Affine reverse FG coefficient input1 product = -5

Affine reverse FG coefficient input1 sum := sum(-5, 4)

Affine reverse FG coefficient input1 sum = -1

Affine ORIGINAL f input2 multiply := mul(5, -1)

Affine ORIGINAL f input2 multiply = -5

Affine ORIGINAL f input2 plus b := sum(-5, -1)

Affine ORIGINAL f input2 plus b = -6

Affine ORIGINAL g AFTER f input2 multiply := mul(-2, -6)

Affine ORIGINAL g AFTER f input2 multiply = 12

Affine ORIGINAL g AFTER f input2 plus d := sum(12, 1)

Affine ORIGINAL g AFTER f input2 plus d = 13

Affine ORIGINAL g input2 multiply := mul(-2, -1)

Affine ORIGINAL g input2 multiply = 2

Affine ORIGINAL g input2 plus d := sum(2, 1)

Affine ORIGINAL g input2 plus d = 3

Affine ORIGINAL f AFTER g input2 multiply := mul(5, 3)

Affine ORIGINAL f AFTER g input2 multiply = 15

Affine ORIGINAL f AFTER g input2 plus b := sum(15, -1)

Affine ORIGINAL f AFTER g input2 plus b = 14

Affine reverse GF coefficient input2 product := mul(-10, -1)

Affine reverse GF coefficient input2 product = 10

Affine reverse GF coefficient input2 sum := sum(10, 3)

Affine reverse GF coefficient input2 sum = 13

Affine reverse FG coefficient input2 product := mul(-10, -1)

Affine reverse FG coefficient input2 product = 10

Affine reverse FG coefficient input2 sum := sum(10, 4)

Affine reverse FG coefficient input2 sum = 14

Affine ORIGINAL GF constant minus FG constant := sub(3, 4)

Affine ORIGINAL GF constant minus FG constant = -1

source roles = [5, -1, -2, 1, [0/1, 1/2, -1/1]]

derived = [[-10, 3], [-10, 4], [3/1, -2/1, 13/1], [4/1, -1/1, 14/1], -1]

逐步反向核對

• S048 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
• S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine ORIGINAL GF constant minus FG constant，不以小數近似替代。
• S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine reverse FG coefficient input2 sum，不以小數近似替代。
• S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine reverse FG coefficient input2 product，不以小數近似替代。
• S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine reverse GF coefficient input2 sum，不以小數近似替代。
• S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine reverse GF coefficient input2 product，不以小數近似替代。
• S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine ORIGINAL f AFTER g input2 plus b，不以小數近似替代。
• S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine ORIGINAL f AFTER g input2 multiply，不以小數近似替代。
• S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine ORIGINAL g input2 plus d，不以小數近似替代。
• S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine ORIGINAL g input2 multiply，不以小數近似替代。
• S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine ORIGINAL g AFTER f input2 plus d，不以小數近似替代。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine ORIGINAL g AFTER f input2 multiply，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine ORIGINAL f input2 plus b，不以小數近似替代。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine ORIGINAL f input2 multiply，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine reverse FG coefficient input1 sum，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine reverse FG coefficient input1 product，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine reverse GF coefficient input1 sum，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine reverse GF coefficient input1 product，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine ORIGINAL f AFTER g input1 plus b，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine ORIGINAL f AFTER g input1 multiply，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine ORIGINAL g input1 plus d，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine ORIGINAL g input1 multiply，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine ORIGINAL g AFTER f input1 plus d，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine ORIGINAL g AFTER f input1 multiply，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine ORIGINAL f input1 plus b，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine ORIGINAL f input1 multiply，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine reverse FG coefficient input0 sum，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine reverse FG coefficient input0 product，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine reverse GF coefficient input0 sum，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine reverse GF coefficient input0 product，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine ORIGINAL f AFTER g input0 plus b，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine ORIGINAL f AFTER g input0 multiply，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine ORIGINAL g input0 plus d，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine ORIGINAL g input0 multiply，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine ORIGINAL g AFTER f input0 plus d，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine ORIGINAL g AFTER f input0 multiply，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine ORIGINAL f input0 plus b，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine ORIGINAL f input0 multiply，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine FG ORIGINAL constant ad plus b，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine FG ORIGINAL a times d，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine FG ORIGINAL a times c slope，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine GF ORIGINAL constant cb plus d，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine GF ORIGINAL c times b，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine GF ORIGINAL c times a slope，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
• S003 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
• S002 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
• S001 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。

結論

([-10, 3], [-10, 4], [3/1, -2/1, 13/1], [4/1, -1/1, 14/1], -1)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。