第 7973 題：同向量的雙純量兩路

原題與已知條件

固定標準基底的整數二分量向量。u=[10, 2]、a=1、b=2。求 (u, (a+b)u, au+bu, 後兩路之差)。

• G001 — 固定標準基底的整數二分量向量。u=[10, 2]、a=1、b=2。求 (u, (a+b)u, au+bu, 後兩路之差)。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-vector

逐步推導

fixed standard basis;two ordered integer coordinates

componentwise operations;not length or inner product

a+b := sum(1, 2)

a+b = 3

(a+b)u[0] := mul(3, 10)

(a+b)u[0] = 30

(a+b)u[1] := mul(3, 2)

(a+b)u[1] = 6

au[0] := mul(1, 10)

au[0] = 10

au[1] := mul(1, 2)

au[1] = 2

bu[0] := mul(2, 10)

bu[0] = 20

bu[1] := mul(2, 2)

bu[1] = 4

au+bu[0] := sum(10, 20)

au+bu[0] = 30

au+bu[1] := sum(2, 4)

au+bu[1] = 6

scalar additivity residual[0] := sub(30, 30)

scalar additivity residual[0] = 0

scalar additivity residual[1] := sub(6, 6)

scalar additivity residual[1] = 0

a=1;b=2;u=[10, 2]

left=[30, 6];right=[30, 6];residual=[0, 0]

逐步反向核對

• S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 scalar additivity residual[1]，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 scalar additivity residual[0]，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 au+bu[1]，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 au+bu[0]，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 bu[1]，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 bu[0]，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 au[1]，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 au[0]，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 (a+b)u[1]，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 (a+b)u[0]，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 a+b，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([10, 2], [30, 6], [30, 6], [0, 0])

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。