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第 7699 題：矩陣轉置的往返

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

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R0014-07699 · q-20261012-advance-20261016-r02-matrix-0024

原題與已知條件

外部索引從1開始；每格完整整數資料。M=[[11, 10, 9, 8], [12, 11, 10, 9], [13, 12, 11, 10], [14, 13, 12, 11], [15, 14, 13, 12]]。求 (M尺寸, Mᵀ, (Mᵀ)ᵀ, 往返與M相同資格)。

  • G001 — 外部索引從1開始；每格完整整數資料。M=[[11, 10, 9, 8], [12, 11, 10, 9], [13, 12, 11, 10], [14, 13, 12, 11], [15, 14, 13, 12]]。求 (M尺寸, Mᵀ, (Mᵀ)ᵀ, 往返與M相同資格)。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

M=[[11, 10, 9, 8], [12, 11, 10, 9], [13, 12, 11, 10], [14, 13, 12, 11], [15, 14, 13, 12]];shape=[5, 4]

操作後

external indices start at1;transpose is not inverse

條件：無

先確認非空矩形尺寸與完整整數資料。轉置對矩形矩陣也可定義，不要求可逆，更不是求逆。

步驟識別與依賴

規則：rectangular_matrix_scope · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

M transpose:source(1,1)=11

操作後

target(1,1)=11

條件：無

轉置只交換行與列位置，數值不變；此處位置均以1起算。

步驟識別與依賴

規則：transpose_coordinate_swap · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

M transpose:source(1,2)=10

操作後

target(2,1)=10

條件：無

轉置只交換行與列位置，數值不變；此處位置均以1起算。

步驟識別與依賴

規則：transpose_coordinate_swap · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

M transpose:source(1,3)=9

操作後

target(3,1)=9

條件：無

轉置只交換行與列位置，數值不變；此處位置均以1起算。

步驟識別與依賴

規則：transpose_coordinate_swap · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

M transpose:source(1,4)=8

操作後

target(4,1)=8

條件：無

轉置只交換行與列位置，數值不變；此處位置均以1起算。

步驟識別與依賴

規則：transpose_coordinate_swap · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

M transpose:source(2,1)=12

操作後

target(1,2)=12

條件：無

轉置只交換行與列位置，數值不變；此處位置均以1起算。

步驟識別與依賴

規則：transpose_coordinate_swap · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

M transpose:source(2,2)=11

操作後

target(2,2)=11

條件：無

轉置只交換行與列位置，數值不變；此處位置均以1起算。

步驟識別與依賴

規則：transpose_coordinate_swap · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

M transpose:source(2,3)=10

操作後

target(3,2)=10

條件：無

轉置只交換行與列位置，數值不變；此處位置均以1起算。

步驟識別與依賴

規則：transpose_coordinate_swap · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

M transpose:source(2,4)=9

操作後

target(4,2)=9

條件：無

轉置只交換行與列位置，數值不變；此處位置均以1起算。

步驟識別與依賴

規則：transpose_coordinate_swap · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

M transpose:source(3,1)=13

操作後

target(1,3)=13

條件：無

轉置只交換行與列位置，數值不變；此處位置均以1起算。

步驟識別與依賴

規則：transpose_coordinate_swap · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

M transpose:source(3,2)=12

操作後

target(2,3)=12

條件：無

轉置只交換行與列位置，數值不變；此處位置均以1起算。

步驟識別與依賴

規則：transpose_coordinate_swap · 依賴：G001, S010

S012 · implies

操作前

M transpose:source(3,3)=11

操作後

target(3,3)=11

條件：無

轉置只交換行與列位置，數值不變；此處位置均以1起算。

步驟識別與依賴

規則：transpose_coordinate_swap · 依賴：G001, S011

S013 · implies

操作前

M transpose:source(3,4)=10

操作後

target(4,3)=10

條件：無

轉置只交換行與列位置，數值不變；此處位置均以1起算。

步驟識別與依賴

規則：transpose_coordinate_swap · 依賴：G001, S012

S014 · implies

操作前

M transpose:source(4,1)=14

操作後

target(1,4)=14

條件：無

轉置只交換行與列位置，數值不變；此處位置均以1起算。

步驟識別與依賴

規則：transpose_coordinate_swap · 依賴：G001, S013

S015 · implies

操作前

M transpose:source(4,2)=13

操作後

target(2,4)=13

條件：無

轉置只交換行與列位置，數值不變；此處位置均以1起算。

步驟識別與依賴

規則：transpose_coordinate_swap · 依賴：G001, S014

S016 · implies

操作前

M transpose:source(4,3)=12

操作後

target(3,4)=12

條件：無

轉置只交換行與列位置，數值不變；此處位置均以1起算。

步驟識別與依賴

規則：transpose_coordinate_swap · 依賴：G001, S015

S017 · implies

操作前

M transpose:source(4,4)=11

操作後

target(4,4)=11

條件：無

轉置只交換行與列位置，數值不變；此處位置均以1起算。

步驟識別與依賴

規則：transpose_coordinate_swap · 依賴：G001, S016

S018 · implies

操作前

M transpose:source(5,1)=15

操作後

target(1,5)=15

條件：無

轉置只交換行與列位置，數值不變；此處位置均以1起算。

步驟識別與依賴

規則：transpose_coordinate_swap · 依賴：G001, S017

S019 · implies

操作前

M transpose:source(5,2)=14

操作後

target(2,5)=14

條件：無

轉置只交換行與列位置，數值不變；此處位置均以1起算。

步驟識別與依賴

規則：transpose_coordinate_swap · 依賴：G001, S018

S020 · implies

操作前

M transpose:source(5,3)=13

操作後

target(3,5)=13

條件：無

轉置只交換行與列位置，數值不變；此處位置均以1起算。

步驟識別與依賴

規則：transpose_coordinate_swap · 依賴：G001, S019

S021 · implies

操作前

M transpose:source(5,4)=12

操作後

target(4,5)=12

條件：無

轉置只交換行與列位置，數值不變；此處位置均以1起算。

步驟識別與依賴

規則：transpose_coordinate_swap · 依賴：G001, S020

S022 · implies

操作前

second transpose:source(1,1)=11

操作後

target(1,1)=11

條件：無

轉置只交換行與列位置，數值不變；此處位置均以1起算。

步驟識別與依賴

規則：transpose_coordinate_swap · 依賴：G001, S021

S023 · implies

操作前

second transpose:source(1,2)=12

操作後

target(2,1)=12

條件：無

轉置只交換行與列位置，數值不變；此處位置均以1起算。

步驟識別與依賴

規則：transpose_coordinate_swap · 依賴：G001, S022

S024 · implies

操作前

second transpose:source(1,3)=13

操作後

target(3,1)=13

條件：無

轉置只交換行與列位置，數值不變；此處位置均以1起算。

步驟識別與依賴

規則：transpose_coordinate_swap · 依賴：G001, S023

S025 · implies

操作前

second transpose:source(1,4)=14

操作後

target(4,1)=14

條件：無

轉置只交換行與列位置，數值不變；此處位置均以1起算。

步驟識別與依賴

規則：transpose_coordinate_swap · 依賴：G001, S024

S026 · implies

操作前

second transpose:source(1,5)=15

操作後

target(5,1)=15

條件：無

轉置只交換行與列位置，數值不變；此處位置均以1起算。

步驟識別與依賴

規則：transpose_coordinate_swap · 依賴：G001, S025

S027 · implies

操作前

second transpose:source(2,1)=10

操作後

target(1,2)=10

條件：無

轉置只交換行與列位置，數值不變；此處位置均以1起算。

步驟識別與依賴

規則：transpose_coordinate_swap · 依賴：G001, S026

S028 · implies

操作前

second transpose:source(2,2)=11

操作後

target(2,2)=11

條件：無

轉置只交換行與列位置，數值不變；此處位置均以1起算。

步驟識別與依賴

規則：transpose_coordinate_swap · 依賴：G001, S027

S029 · implies

操作前

second transpose:source(2,3)=12

操作後

target(3,2)=12

條件：無

轉置只交換行與列位置，數值不變；此處位置均以1起算。

步驟識別與依賴

規則：transpose_coordinate_swap · 依賴：G001, S028

S030 · implies

操作前

second transpose:source(2,4)=13

操作後

target(4,2)=13

條件：無

轉置只交換行與列位置，數值不變；此處位置均以1起算。

步驟識別與依賴

規則：transpose_coordinate_swap · 依賴：G001, S029

S031 · implies

操作前

second transpose:source(2,5)=14

操作後

target(5,2)=14

條件：無

轉置只交換行與列位置，數值不變；此處位置均以1起算。

步驟識別與依賴

規則：transpose_coordinate_swap · 依賴：G001, S030

S032 · implies

操作前

second transpose:source(3,1)=9

操作後

target(1,3)=9

條件：無

轉置只交換行與列位置，數值不變；此處位置均以1起算。

步驟識別與依賴

規則：transpose_coordinate_swap · 依賴：G001, S031

S033 · implies

操作前

second transpose:source(3,2)=10

操作後

target(2,3)=10

條件：無

轉置只交換行與列位置，數值不變；此處位置均以1起算。

步驟識別與依賴

規則：transpose_coordinate_swap · 依賴：G001, S032

S034 · implies

操作前

second transpose:source(3,3)=11

操作後

target(3,3)=11

條件：無

轉置只交換行與列位置，數值不變；此處位置均以1起算。

步驟識別與依賴

規則：transpose_coordinate_swap · 依賴：G001, S033

S035 · implies

操作前

second transpose:source(3,4)=12

操作後

target(4,3)=12

條件：無

轉置只交換行與列位置，數值不變；此處位置均以1起算。

步驟識別與依賴

規則：transpose_coordinate_swap · 依賴：G001, S034

S036 · implies

操作前

second transpose:source(3,5)=13

操作後

target(5,3)=13

條件：無

轉置只交換行與列位置，數值不變；此處位置均以1起算。

步驟識別與依賴

規則：transpose_coordinate_swap · 依賴：G001, S035

S037 · implies

操作前

second transpose:source(4,1)=8

操作後

target(1,4)=8

條件：無

轉置只交換行與列位置，數值不變；此處位置均以1起算。

步驟識別與依賴

規則：transpose_coordinate_swap · 依賴：G001, S036

S038 · implies

操作前

second transpose:source(4,2)=9

操作後

target(2,4)=9

條件：無

轉置只交換行與列位置，數值不變；此處位置均以1起算。

步驟識別與依賴

規則：transpose_coordinate_swap · 依賴：G001, S037

S039 · implies

操作前

second transpose:source(4,3)=10

操作後

target(3,4)=10

條件：無

轉置只交換行與列位置，數值不變；此處位置均以1起算。

步驟識別與依賴

規則：transpose_coordinate_swap · 依賴：G001, S038

S040 · implies

操作前

second transpose:source(4,4)=11

操作後

target(4,4)=11

條件：無

轉置只交換行與列位置，數值不變；此處位置均以1起算。

步驟識別與依賴

規則：transpose_coordinate_swap · 依賴：G001, S039

S041 · implies

操作前

second transpose:source(4,5)=12

操作後

target(5,4)=12

條件：無

轉置只交換行與列位置，數值不變；此處位置均以1起算。

步驟識別與依賴

規則：transpose_coordinate_swap · 依賴：G001, S040

S042 · implies

操作前

M=[[11, 10, 9, 8], [12, 11, 10, 9], [13, 12, 11, 10], [14, 13, 12, 11], [15, 14, 13, 12]];M^T=[[11, 12, 13, 14, 15], [10, 11, 12, 13, 14], [9, 10, 11, 12, 13], [8, 9, 10, 11, 12]]

操作後

roundtrip=[[11, 10, 9, 8], [12, 11, 10, 9], [13, 12, 11, 10], [14, 13, 12, 11], [15, 14, 13, 12]];equal=是

條件：無

原(i,j)先移到(j,i)，再移回(i,j)，沒有反轉一列的元素順序。

步驟識別與依賴

規則：transpose_involution_audit · 依賴：G001, S041

逐步反向核對

  • S042 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S041 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S040 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S039 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S037 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S036 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S035 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S034 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S031 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S029 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([5, 4], [[11, 12, 13, 14, 15], [10, 11, 12, 13, 14], [9, 10, 11, 12, 13], [8, 9, 10, 11, 12]], [[11, 10, 9, 8], [12, 11, 10, 9], [13, 12, 11, 10], [14, 13, 12, 11], [15, 14, 13, 12]], 是)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: a5dc9cb5e4e77d939d447335e8413d31ce18aae2665fc7241e6c426537ddddd7
  • candidate record SHA-256: 88e6ba8df29272d0116897d99dc5ceda842dccdcadac017088507aa8d470f5df
  • semantic review receipt SHA-256: 23ba8196e85a09c03add0a87f96bec5d67a00dc648d1d68eef89101525b41a77
  • question-first witness SHA-256: 17d59afc327b7cb8b6e588686d6dc1abbccd384d8ba32b8c046652f96821d705
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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