第 7649 題：同尺寸和的轉置兩路

原題與已知條件

外部索引從1開始；每格完整整數資料。同尺寸M=[[11, 10, 9, 8], [12, 11, 10, 9], [13, 12, 11, 10], [14, 13, 12, 11], [15, 14, 13, 12]]、N=[[0, 1, 2, 3], [-1, 0, 1, 2], [-2, -1, 0, 1], [-3, -2, -1, 0], [-4, -3, -2, -1]]。求 (M尺寸, M+N, (M+N)ᵀ, Mᵀ+Nᵀ)。

• G001 — 外部索引從1開始；每格完整整數資料。同尺寸M=[[11, 10, 9, 8], [12, 11, 10, 9], [13, 12, 11, 10], [14, 13, 12, 11], [15, 14, 13, 12]]、N=[[0, 1, 2, 3], [-1, 0, 1, 2], [-2, -1, 0, 1], [-3, -2, -1, 0], [-4, -3, -2, -1]]。求 (M尺寸, M+N, (M+N)ᵀ, Mᵀ+Nᵀ)。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-matrix

逐步推導

M=[[11, 10, 9, 8], [12, 11, 10, 9], [13, 12, 11, 10], [14, 13, 12, 11], [15, 14, 13, 12]];shape=[5, 4]

external indices start at1;transpose is not inverse

M transpose:source(1,1)=11

target(1,1)=11

M transpose:source(1,2)=10

target(2,1)=10

M transpose:source(1,3)=9

target(3,1)=9

M transpose:source(1,4)=8

target(4,1)=8

M transpose:source(2,1)=12

target(1,2)=12

M transpose:source(2,2)=11

target(2,2)=11

M transpose:source(2,3)=10

target(3,2)=10

M transpose:source(2,4)=9

target(4,2)=9

M transpose:source(3,1)=13

target(1,3)=13

M transpose:source(3,2)=12

target(2,3)=12

M transpose:source(3,3)=11

target(3,3)=11

M transpose:source(3,4)=10

target(4,3)=10

M transpose:source(4,1)=14

target(1,4)=14

M transpose:source(4,2)=13

target(2,4)=13

M transpose:source(4,3)=12

target(3,4)=12

M transpose:source(4,4)=11

target(4,4)=11

M transpose:source(5,1)=15

target(1,5)=15

M transpose:source(5,2)=14

target(2,5)=14

M transpose:source(5,3)=13

target(3,5)=13

M transpose:source(5,4)=12

target(4,5)=12

M shape=[5, 4];N shape=[5, 4]

same shape;entrywise sum permitted

M+N(1,1) := sum(11, 0)

M+N(1,1) = 11

M+N(1,2) := sum(10, 1)

M+N(1,2) = 11

M+N(1,3) := sum(9, 2)

M+N(1,3) = 11

M+N(1,4) := sum(8, 3)

M+N(1,4) = 11

M+N(2,1) := sum(12, -1)

M+N(2,1) = 11

M+N(2,2) := sum(11, 0)

M+N(2,2) = 11

M+N(2,3) := sum(10, 1)

M+N(2,3) = 11

M+N(2,4) := sum(9, 2)

M+N(2,4) = 11

M+N(3,1) := sum(13, -2)

M+N(3,1) = 11

M+N(3,2) := sum(12, -1)

M+N(3,2) = 11

M+N(3,3) := sum(11, 0)

M+N(3,3) = 11

M+N(3,4) := sum(10, 1)

M+N(3,4) = 11

M+N(4,1) := sum(14, -3)

M+N(4,1) = 11

M+N(4,2) := sum(13, -2)

M+N(4,2) = 11

M+N(4,3) := sum(12, -1)

M+N(4,3) = 11

M+N(4,4) := sum(11, 0)

M+N(4,4) = 11

M+N(5,1) := sum(15, -4)

M+N(5,1) = 11

M+N(5,2) := sum(14, -3)

M+N(5,2) = 11

M+N(5,3) := sum(13, -2)

M+N(5,3) = 11

M+N(5,4) := sum(12, -1)

M+N(5,4) = 11

sum transpose:source(1,1)=11

target(1,1)=11

sum transpose:source(1,2)=11

target(2,1)=11

sum transpose:source(1,3)=11

target(3,1)=11

sum transpose:source(1,4)=11

target(4,1)=11

sum transpose:source(2,1)=11

target(1,2)=11

sum transpose:source(2,2)=11

target(2,2)=11

sum transpose:source(2,3)=11

target(3,2)=11

sum transpose:source(2,4)=11

target(4,2)=11

sum transpose:source(3,1)=11

target(1,3)=11

sum transpose:source(3,2)=11

target(2,3)=11

sum transpose:source(3,3)=11

target(3,3)=11

sum transpose:source(3,4)=11

target(4,3)=11

sum transpose:source(4,1)=11

target(1,4)=11

sum transpose:source(4,2)=11

target(2,4)=11

sum transpose:source(4,3)=11

target(3,4)=11

sum transpose:source(4,4)=11

target(4,4)=11

sum transpose:source(5,1)=11

target(1,5)=11

sum transpose:source(5,2)=11

target(2,5)=11

sum transpose:source(5,3)=11

target(3,5)=11

sum transpose:source(5,4)=11

target(4,5)=11

N transpose:source(1,1)=0

target(1,1)=0

N transpose:source(1,2)=1

target(2,1)=1

N transpose:source(1,3)=2

target(3,1)=2

N transpose:source(1,4)=3

target(4,1)=3

N transpose:source(2,1)=-1

target(1,2)=-1

N transpose:source(2,2)=0

target(2,2)=0

N transpose:source(2,3)=1

target(3,2)=1

N transpose:source(2,4)=2

target(4,2)=2

N transpose:source(3,1)=-2

target(1,3)=-2

N transpose:source(3,2)=-1

target(2,3)=-1

N transpose:source(3,3)=0

target(3,3)=0

N transpose:source(3,4)=1

target(4,3)=1

N transpose:source(4,1)=-3

target(1,4)=-3

N transpose:source(4,2)=-2

target(2,4)=-2

N transpose:source(4,3)=-1

target(3,4)=-1

N transpose:source(4,4)=0

target(4,4)=0

N transpose:source(5,1)=-4

target(1,5)=-4

N transpose:source(5,2)=-3

target(2,5)=-3

N transpose:source(5,3)=-2

target(3,5)=-2

N transpose:source(5,4)=-1

target(4,5)=-1

MT+NT(1,1) := sum(11, 0)

MT+NT(1,1) = 11

MT+NT(1,2) := sum(12, -1)

MT+NT(1,2) = 11

MT+NT(1,3) := sum(13, -2)

MT+NT(1,3) = 11

MT+NT(1,4) := sum(14, -3)

MT+NT(1,4) = 11

MT+NT(1,5) := sum(15, -4)

MT+NT(1,5) = 11

MT+NT(2,1) := sum(10, 1)

MT+NT(2,1) = 11

MT+NT(2,2) := sum(11, 0)

MT+NT(2,2) = 11

MT+NT(2,3) := sum(12, -1)

MT+NT(2,3) = 11

MT+NT(2,4) := sum(13, -2)

MT+NT(2,4) = 11

MT+NT(2,5) := sum(14, -3)

MT+NT(2,5) = 11

MT+NT(3,1) := sum(9, 2)

MT+NT(3,1) = 11

MT+NT(3,2) := sum(10, 1)

MT+NT(3,2) = 11

MT+NT(3,3) := sum(11, 0)

MT+NT(3,3) = 11

MT+NT(3,4) := sum(12, -1)

MT+NT(3,4) = 11

MT+NT(3,5) := sum(13, -2)

MT+NT(3,5) = 11

MT+NT(4,1) := sum(8, 3)

MT+NT(4,1) = 11

MT+NT(4,2) := sum(9, 2)

MT+NT(4,2) = 11

MT+NT(4,3) := sum(10, 1)

MT+NT(4,3) = 11

MT+NT(4,4) := sum(11, 0)

MT+NT(4,4) = 11

MT+NT(4,5) := sum(12, -1)

MT+NT(4,5) = 11

left=[[11, 11, 11, 11, 11], [11, 11, 11, 11, 11], [11, 11, 11, 11, 11], [11, 11, 11, 11, 11]];right=[[11, 11, 11, 11, 11], [11, 11, 11, 11, 11], [11, 11, 11, 11, 11], [11, 11, 11, 11, 11]]

same value at every transposed coordinate

逐步反向核對

• S103 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S102 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MT+NT(4,5)，不以小數近似替代。
• S101 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MT+NT(4,4)，不以小數近似替代。
• S100 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MT+NT(4,3)，不以小數近似替代。
• S099 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MT+NT(4,2)，不以小數近似替代。
• S098 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MT+NT(4,1)，不以小數近似替代。
• S097 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MT+NT(3,5)，不以小數近似替代。
• S096 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MT+NT(3,4)，不以小數近似替代。
• S095 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MT+NT(3,3)，不以小數近似替代。
• S094 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MT+NT(3,2)，不以小數近似替代。
• S093 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MT+NT(3,1)，不以小數近似替代。
• S092 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MT+NT(2,5)，不以小數近似替代。
• S091 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MT+NT(2,4)，不以小數近似替代。
• S090 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MT+NT(2,3)，不以小數近似替代。
• S089 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MT+NT(2,2)，不以小數近似替代。
• S088 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MT+NT(2,1)，不以小數近似替代。
• S087 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MT+NT(1,5)，不以小數近似替代。
• S086 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MT+NT(1,4)，不以小數近似替代。
• S085 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MT+NT(1,3)，不以小數近似替代。
• S084 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MT+NT(1,2)，不以小數近似替代。
• S083 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MT+NT(1,1)，不以小數近似替代。
• S082 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S081 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S080 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S079 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S078 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S077 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S076 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S075 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S074 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S073 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S072 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S071 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S070 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S069 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S068 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S067 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S066 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S065 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S064 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S063 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S062 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S061 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S060 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S059 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S058 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S057 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S056 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S055 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S054 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S053 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S052 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S051 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S050 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S049 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S048 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S047 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S046 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S045 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S044 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S043 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 M+N(5,4)，不以小數近似替代。
• S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 M+N(5,3)，不以小數近似替代。
• S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 M+N(5,2)，不以小數近似替代。
• S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 M+N(5,1)，不以小數近似替代。
• S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 M+N(4,4)，不以小數近似替代。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 M+N(4,3)，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 M+N(4,2)，不以小數近似替代。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 M+N(4,1)，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 M+N(3,4)，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 M+N(3,3)，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 M+N(3,2)，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 M+N(3,1)，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 M+N(2,4)，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 M+N(2,3)，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 M+N(2,2)，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 M+N(2,1)，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 M+N(1,4)，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 M+N(1,3)，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 M+N(1,2)，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 M+N(1,1)，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([5, 4], [[11, 11, 11, 11], [11, 11, 11, 11], [11, 11, 11, 11], [11, 11, 11, 11], [11, 11, 11, 11]], [[11, 11, 11, 11, 11], [11, 11, 11, 11, 11], [11, 11, 11, 11, 11], [11, 11, 11, 11, 11]], [[11, 11, 11, 11, 11], [11, 11, 11, 11, 11], [11, 11, 11, 11, 11], [11, 11, 11, 11, 11]])

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。