第 7374 題：交換兩行的有號行列式

原題與已知條件

R上2×2矩陣，D為有號行列式。M=[[11, 1], [2, 1]]。求 (M, D(M), 交換兩行的矩陣, 交換後D, 兩個D之和)。

• G001 — R上2×2矩陣，D為有號行列式。M=[[11, 1], [2, 1]]。求 (M, D(M), 交換兩行的矩陣, 交換後D, 兩個D之和)。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-determinant

逐步推導

[[11, 1], [2, 1]]

real2×2 integer-entry slice;determinants are signed

M diagonal product := mul(11, 1)

M diagonal product = 11

M off-diagonal product := mul(1, 2)

M off-diagonal product = 2

M signed determinant := sub(11, 2)

M signed determinant = 9

row-swapped M diagonal product := mul(2, 1)

row-swapped M diagonal product = 2

row-swapped M off-diagonal product := mul(1, 11)

row-swapped M off-diagonal product = 11

row-swapped M signed determinant := sub(2, 11)

row-swapped M signed determinant = -9

original plus row-swapped determinants := sum(9, -9)

original plus row-swapped determinants = 0

M=[[11, 1], [2, 1]];swapped rows=[[2, 1], [11, 1]]

signed determinants=(9,-9)

逐步反向核對

• S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original plus row-swapped determinants，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 row-swapped M signed determinant，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 row-swapped M off-diagonal product，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 row-swapped M diagonal product，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 M signed determinant，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 M off-diagonal product，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 M diagonal product，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([[11, 1], [2, 1]], 9, [[2, 1], [11, 1]], -9, 0)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。