第 7385 題：純量矩陣與二階縮放值

原題與已知條件

R上2×2矩陣，D為有號行列式。M=[[-3, 1], [2, 1]]、t=-2。求 (D(M), tM, D(tM), t²D(M))。負t及零t都按明示數值計算。

• G001 — R上2×2矩陣，D為有號行列式。M=[[-3, 1], [2, 1]]、t=-2。求 (D(M), tM, D(tM), t²D(M))。負t及零t都按明示數值計算。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-determinant

逐步推導

[[-3, 1], [2, 1]]

real2×2 integer-entry slice;determinants are signed

M diagonal product := mul(-3, 1)

M diagonal product = -3

M off-diagonal product := mul(1, 2)

M off-diagonal product = 2

M signed determinant := sub(-3, 2)

M signed determinant = -5

scaled matrix entry0,0 := mul(-2, -3)

scaled matrix entry0,0 = 6

scaled matrix entry0,1 := mul(-2, 1)

scaled matrix entry0,1 = -2

scaled matrix entry1,0 := mul(-2, 2)

scaled matrix entry1,0 = -4

scaled matrix entry1,1 := mul(-2, 1)

scaled matrix entry1,1 = -2

scaled M diagonal product := mul(6, -2)

scaled M diagonal product = -12

scaled M off-diagonal product := mul(-2, -4)

scaled M off-diagonal product = 8

scaled M signed determinant := sub(-12, 8)

scaled M signed determinant = -20

matrix scalar squared := square(-2)

matrix scalar squared = 4

t squared times original determinant := mul(4, -5)

t squared times original determinant = -20

t=-2;D(tM)=-20;t²D(M)=-20

whole-matrix2×2 scaling,including negative and zero t

逐步反向核對

• S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 t squared times original determinant，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix scalar squared，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 scaled M signed determinant，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 scaled M off-diagonal product，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 scaled M diagonal product，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 scaled matrix entry1,1，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 scaled matrix entry1,0，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 scaled matrix entry0,1，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 scaled matrix entry0,0，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 M signed determinant，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 M off-diagonal product，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 M diagonal product，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(-5, [[6, -2], [-4, -2]], -20, -20)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。