第 7338 題：矩陣乘積兩序及行列式

原題與已知條件

R上2×2矩陣，D為有號行列式。M=[[0, 1], [0, 1]]、N=[[1, 0], [2, 1]]。求 (MN, NM, D(MN), D(NM), D(M)D(N), MN與NM相同資格)。

• G001 — R上2×2矩陣，D為有號行列式。M=[[0, 1], [0, 1]]、N=[[1, 0], [2, 1]]。求 (MN, NM, D(MN), D(NM), D(M)D(N), MN與NM相同資格)。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-determinant

逐步推導

[[0, 1], [0, 1]]

real2×2 integer-entry slice;determinants are signed

M diagonal product := mul(0, 1)

M diagonal product = 0

M off-diagonal product := mul(1, 0)

M off-diagonal product = 0

M signed determinant := sub(0, 0)

M signed determinant = 0

MN entry0,0 term0 := mul(0, 1)

MN entry0,0 term0 = 0

MN entry0,0 term1 := mul(1, 2)

MN entry0,0 term1 = 2

MN entry0,0 := sum(0, 2)

MN entry0,0 = 2

product=MN;row=0;column=0;terms=[0, 2]

entry=2

MN entry0,1 term0 := mul(0, 0)

MN entry0,1 term0 = 0

MN entry0,1 term1 := mul(1, 1)

MN entry0,1 term1 = 1

MN entry0,1 := sum(0, 1)

MN entry0,1 = 1

product=MN;row=0;column=1;terms=[0, 1]

entry=1

MN entry1,0 term0 := mul(0, 1)

MN entry1,0 term0 = 0

MN entry1,0 term1 := mul(1, 2)

MN entry1,0 term1 = 2

MN entry1,0 := sum(0, 2)

MN entry1,0 = 2

product=MN;row=1;column=0;terms=[0, 2]

entry=2

MN entry1,1 term0 := mul(0, 0)

MN entry1,1 term0 = 0

MN entry1,1 term1 := mul(1, 1)

MN entry1,1 term1 = 1

MN entry1,1 := sum(0, 1)

MN entry1,1 = 1

product=MN;row=1;column=1;terms=[0, 1]

entry=1

NM entry0,0 term0 := mul(1, 0)

NM entry0,0 term0 = 0

NM entry0,0 term1 := mul(0, 0)

NM entry0,0 term1 = 0

NM entry0,0 := sum(0, 0)

NM entry0,0 = 0

product=NM;row=0;column=0;terms=[0, 0]

entry=0

NM entry0,1 term0 := mul(1, 1)

NM entry0,1 term0 = 1

NM entry0,1 term1 := mul(0, 1)

NM entry0,1 term1 = 0

NM entry0,1 := sum(1, 0)

NM entry0,1 = 1

product=NM;row=0;column=1;terms=[1, 0]

entry=1

NM entry1,0 term0 := mul(2, 0)

NM entry1,0 term0 = 0

NM entry1,0 term1 := mul(1, 0)

NM entry1,0 term1 = 0

NM entry1,0 := sum(0, 0)

NM entry1,0 = 0

product=NM;row=1;column=0;terms=[0, 0]

entry=0

NM entry1,1 term0 := mul(2, 1)

NM entry1,1 term0 = 2

NM entry1,1 term1 := mul(1, 1)

NM entry1,1 term1 = 1

NM entry1,1 := sum(2, 1)

NM entry1,1 = 3

product=NM;row=1;column=1;terms=[2, 1]

entry=3

MN diagonal product := mul(2, 1)

MN diagonal product = 2

MN off-diagonal product := mul(1, 2)

MN off-diagonal product = 2

MN signed determinant := sub(2, 2)

MN signed determinant = 0

NM diagonal product := mul(0, 3)

NM diagonal product = 0

NM off-diagonal product := mul(1, 0)

NM off-diagonal product = 0

NM signed determinant := sub(0, 0)

NM signed determinant = 0

N diagonal product := mul(1, 1)

N diagonal product = 1

N off-diagonal product := mul(0, 2)

N off-diagonal product = 0

N signed determinant := sub(1, 0)

N signed determinant = 1

product of original determinants := mul(0, 1)

product of original determinants = 0

MN=[[2, 1], [2, 1]];NM=[[0, 1], [0, 3]];determinants=(0,0)

matrices equal=否;D(M)D(N)=0

逐步反向核對

• S047 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product of original determinants，不以小數近似替代。
• S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 N signed determinant，不以小數近似替代。
• S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 N off-diagonal product，不以小數近似替代。
• S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 N diagonal product，不以小數近似替代。
• S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 NM signed determinant，不以小數近似替代。
• S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 NM off-diagonal product，不以小數近似替代。
• S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 NM diagonal product，不以小數近似替代。
• S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MN signed determinant，不以小數近似替代。
• S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MN off-diagonal product，不以小數近似替代。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MN diagonal product，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 NM entry1,1，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 NM entry1,1 term1，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 NM entry1,1 term0，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 NM entry1,0，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 NM entry1,0 term1，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 NM entry1,0 term0，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 NM entry0,1，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 NM entry0,1 term1，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 NM entry0,1 term0，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 NM entry0,0，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 NM entry0,0 term1，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 NM entry0,0 term0，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MN entry1,1，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MN entry1,1 term1，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MN entry1,1 term0，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MN entry1,0，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MN entry1,0 term1，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MN entry1,0 term0，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MN entry0,1，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MN entry0,1 term1，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MN entry0,1 term0，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MN entry0,0，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MN entry0,0 term1，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MN entry0,0 term0，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 M signed determinant，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 M off-diagonal product，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 M diagonal product，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([[2, 1], [2, 1]], [[0, 1], [0, 3]], 0, 0, 0, 否)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。