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第 8129 題：反函數總表與兩側還原

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

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R0015-08129 · q-20261012-advance-20261017-r02-inverse-function-0004

原題與已知條件

Fin型別從0起，完整總表。Fin(3)=[0, 1, 2]→Fin(3)=[0, 1, 2]；總函數f依輸入索引列images=[0, 1, 2]。求 (images, f雙射資格, 反函數g總表或不成反函數, g(f(x))完整表或不求值, f(g(y))完整表或不求值)。

  • G001 — Fin型別從0起，完整總表。Fin(3)=[0, 1, 2]→Fin(3)=[0, 1, 2]；總函數f依輸入索引列images=[0, 1, 2]。求 (images, f雙射資格, 反函數g總表或不成反函數, g(f(x))完整表或不求值, f(g(y))完整表或不求值)。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

n=3;m=3;images=[0, 1, 2]

操作後

complete typed total map;inverse is not reciprocal

條件：無

整張原總表先合型；有限基數相等不保證這張表是雙射，值為0也不妨礙可能的反函數。

步驟識別與依賴

規則：inverse_typed_map_scope · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

target=0;original images=[0, 1, 2]

操作後

fiber=[0];unique=是

條件：無

掃描每個原輸入，列這個宣告目標的全部原像；空纖維或多原像都不能成為總反函數的一格。

步驟識別與依賴

規則：inverse_complete_target_fiber · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

target=1;original images=[0, 1, 2]

操作後

fiber=[1];unique=是

條件：無

掃描每個原輸入，列這個宣告目標的全部原像；空纖維或多原像都不能成為總反函數的一格。

步驟識別與依賴

規則：inverse_complete_target_fiber · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

target=2;original images=[0, 1, 2]

操作後

fiber=[2];unique=是

條件：無

掃描每個原輸入，列這個宣告目標的全部原像；空纖維或多原像都不能成為總反函數的一格。

步驟識別與依賴

規則：inverse_complete_target_fiber · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

n=3;m=3;fibers=[[0], [1], [2]]

操作後

bijective=是

條件：無

原表已為總函數，每個陪域目標恰一原像等價於雙射；空到空總表通過，不能只看n=m。

步驟識別與依賴

規則：inverse_bijection_gate · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

unique fibers=[[0], [1], [2]]

操作後

inverse table=[0, 1, 2]

條件：無

用每個目標的唯一原像依陪域順序建立反函數總表。

步驟識別與依賴

規則：construct_inverse_only_after_bijection · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

gof:input=0;f(input)=0;g=[0, 1, 2]

操作後

g(f(input))=0;identity target=0;matches=是

條件：無

先沿f找陪域標籤，再在已合型g讀值；這個方向與另一方向的定義域不同。

步驟識別與依賴

規則：inverse_composition_lookup · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

gof:input=1;f(input)=1;g=[0, 1, 2]

操作後

g(f(input))=1;identity target=1;matches=是

條件：無

先沿f找陪域標籤，再在已合型g讀值；這個方向與另一方向的定義域不同。

步驟識別與依賴

規則：inverse_composition_lookup · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

gof:input=2;f(input)=2;g=[0, 1, 2]

操作後

g(f(input))=2;identity target=2;matches=是

條件：無

先沿f找陪域標籤，再在已合型g讀值；這個方向與另一方向的定義域不同。

步驟識別與依賴

規則：inverse_composition_lookup · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

fog:input=0;g(input)=0;f=[0, 1, 2]

操作後

f(g(input))=0;identity target=0;matches=是

條件：無

反方向另從每個原陪域目標開始，不能拿g∘f的答案代替f∘g。

步驟識別與依賴

規則：inverse_composition_lookup · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

fog:input=1;g(input)=1;f=[0, 1, 2]

操作後

f(g(input))=1;identity target=1;matches=是

條件：無

反方向另從每個原陪域目標開始，不能拿g∘f的答案代替f∘g。

步驟識別與依賴

規則：inverse_composition_lookup · 依賴：G001, S010

S012 · implies

操作前

fog:input=2;g(input)=2;f=[0, 1, 2]

操作後

f(g(input))=2;identity target=2;matches=是

條件：無

反方向另從每個原陪域目標開始，不能拿g∘f的答案代替f∘g。

步驟識別與依賴

規則：inverse_composition_lookup · 依賴：G001, S011

S013 · implies

操作前

gof=[0, 1, 2];fog=[0, 1, 2]

操作後

left identity=是;right identity=是

條件：無

兩側identity各自按自身完整索引核對；單側符合不自動代表另一側，空索引上的條件按真處理。

步驟識別與依賴

規則：inverse_two_identities_separate · 依賴：G001, S012

逐步反向核對

  • S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([0, 1, 2], 是, [0, 1, 2], [0, 1, 2], [0, 1, 2])

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: 030d45d5de383d1313e91237c594c60d961de2053ff1946b06ac9a43c54ca22b
  • candidate record SHA-256: 185b2ab6683be22e20c86659aec048703d0bbf8e85dc77f6c36b7acdc6f24cdb
  • semantic review receipt SHA-256: 6ecad9d909199221a07e923f87425e80b3bdec3eed46fe5910d04fca694cae18
  • question-first witness SHA-256: e8f00458977a09493b5f9f05ab9e6feec72debaf4c7d1c609d1fc95900a35a1b
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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