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第 8782 題：自然數整除與零邊界

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

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R0016-08782 · q-20261013-advance-20261018-r02-natural-divisibility-0057

原題與已知條件

自然數包含0。操作=divisibility-common-multiples；資料={"a":6,"b":3,"bound":36}。請依 [a,b,bound,common_multiples] 的欄序回答。

  • G001 — 自然數包含0。操作=divisibility-common-multiples；資料={"a":6,"b":3,"bound":36}。請依 [a,b,bound,common_multiples] 的欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

natural numbers include0;b is divisible by a iff b=a*k for some natural k

操作後

0 divides only0;every natural divides0

條件：無

整除是存在乘數的關係，不先假定除數正或非零；a∣0包含a=0。正因數清單另排除0，兩個問題不混用。

步驟識別與依賴

規則：natural_divisibility_zero_scope · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

window0 first divisor:divide natural 0 by positive 6

操作後

0=0·6+0

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

window0 first divisor:a=6;b=0;quotient=0;remainder=0

操作後

divides=是;witness/status=0

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

window0 second divisor:divide natural 0 by positive 3

操作後

0=0·3+0

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

window0 second divisor:a=3;b=0;quotient=0;remainder=0

操作後

divides=是;witness/status=0

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

candidate=0;a divides=是;b divides=是

操作後

common multiple=是

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴

規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

window1 first divisor:divide natural 1 by positive 6

操作後

1=0·6+1

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

window1 first divisor:a=6;b=1;quotient=0;remainder=1

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

window1 second divisor:divide natural 1 by positive 3

操作後

1=0·3+1

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

window1 second divisor:a=3;b=1;quotient=0;remainder=1

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

candidate=1;a divides=否;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴

規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S010

S012 · implies

操作前

window2 first divisor:divide natural 2 by positive 6

操作後

2=0·6+2

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S011

S013 · implies

操作前

window2 first divisor:a=6;b=2;quotient=0;remainder=2

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S012

S014 · implies

操作前

window2 second divisor:divide natural 2 by positive 3

操作後

2=0·3+2

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S013

S015 · implies

操作前

window2 second divisor:a=3;b=2;quotient=0;remainder=2

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S014

S016 · implies

操作前

candidate=2;a divides=否;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴

規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S015

S017 · implies

操作前

window3 first divisor:divide natural 3 by positive 6

操作後

3=0·6+3

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S016

S018 · implies

操作前

window3 first divisor:a=6;b=3;quotient=0;remainder=3

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S017

S019 · implies

操作前

window3 second divisor:divide natural 3 by positive 3

操作後

3=1·3+0

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S018

S020 · implies

操作前

window3 second divisor:a=3;b=3;quotient=1;remainder=0

操作後

divides=是;witness/status=1

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S019

S021 · implies

操作前

candidate=3;a divides=否;b divides=是

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴

規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S020

S022 · implies

操作前

window4 first divisor:divide natural 4 by positive 6

操作後

4=0·6+4

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S021

S023 · implies

操作前

window4 first divisor:a=6;b=4;quotient=0;remainder=4

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S022

S024 · implies

操作前

window4 second divisor:divide natural 4 by positive 3

操作後

4=1·3+1

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S023

S025 · implies

操作前

window4 second divisor:a=3;b=4;quotient=1;remainder=1

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S024

S026 · implies

操作前

candidate=4;a divides=否;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴

規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S025

S027 · implies

操作前

window5 first divisor:divide natural 5 by positive 6

操作後

5=0·6+5

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S026

S028 · implies

操作前

window5 first divisor:a=6;b=5;quotient=0;remainder=5

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S027

S029 · implies

操作前

window5 second divisor:divide natural 5 by positive 3

操作後

5=1·3+2

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S028

S030 · implies

操作前

window5 second divisor:a=3;b=5;quotient=1;remainder=2

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S029

S031 · implies

操作前

candidate=5;a divides=否;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴

規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S030

S032 · implies

操作前

window6 first divisor:divide natural 6 by positive 6

操作後

6=1·6+0

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S031

S033 · implies

操作前

window6 first divisor:a=6;b=6;quotient=1;remainder=0

操作後

divides=是;witness/status=1

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S032

S034 · implies

操作前

window6 second divisor:divide natural 6 by positive 3

操作後

6=2·3+0

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S033

S035 · implies

操作前

window6 second divisor:a=3;b=6;quotient=2;remainder=0

操作後

divides=是;witness/status=2

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S034

S036 · implies

操作前

candidate=6;a divides=是;b divides=是

操作後

common multiple=是

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴

規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S035

S037 · implies

操作前

window7 first divisor:divide natural 7 by positive 6

操作後

7=1·6+1

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S036

S038 · implies

操作前

window7 first divisor:a=6;b=7;quotient=1;remainder=1

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S037

S039 · implies

操作前

window7 second divisor:divide natural 7 by positive 3

操作後

7=2·3+1

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S038

S040 · implies

操作前

window7 second divisor:a=3;b=7;quotient=2;remainder=1

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S039

S041 · implies

操作前

candidate=7;a divides=否;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴

規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S040

S042 · implies

操作前

window8 first divisor:divide natural 8 by positive 6

操作後

8=1·6+2

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S041

S043 · implies

操作前

window8 first divisor:a=6;b=8;quotient=1;remainder=2

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S042

S044 · implies

操作前

window8 second divisor:divide natural 8 by positive 3

操作後

8=2·3+2

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S043

S045 · implies

操作前

window8 second divisor:a=3;b=8;quotient=2;remainder=2

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S044

S046 · implies

操作前

candidate=8;a divides=否;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴

規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S045

S047 · implies

操作前

window9 first divisor:divide natural 9 by positive 6

操作後

9=1·6+3

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S046

S048 · implies

操作前

window9 first divisor:a=6;b=9;quotient=1;remainder=3

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S047

S049 · implies

操作前

window9 second divisor:divide natural 9 by positive 3

操作後

9=3·3+0

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S048

S050 · implies

操作前

window9 second divisor:a=3;b=9;quotient=3;remainder=0

操作後

divides=是;witness/status=3

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S049

S051 · implies

操作前

candidate=9;a divides=否;b divides=是

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴

規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S050

S052 · implies

操作前

window10 first divisor:divide natural 10 by positive 6

操作後

10=1·6+4

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S051

S053 · implies

操作前

window10 first divisor:a=6;b=10;quotient=1;remainder=4

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S052

S054 · implies

操作前

window10 second divisor:divide natural 10 by positive 3

操作後

10=3·3+1

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S053

S055 · implies

操作前

window10 second divisor:a=3;b=10;quotient=3;remainder=1

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S054

S056 · implies

操作前

candidate=10;a divides=否;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴

規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S055

S057 · implies

操作前

window11 first divisor:divide natural 11 by positive 6

操作後

11=1·6+5

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S056

S058 · implies

操作前

window11 first divisor:a=6;b=11;quotient=1;remainder=5

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S057

S059 · implies

操作前

window11 second divisor:divide natural 11 by positive 3

操作後

11=3·3+2

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S058

S060 · implies

操作前

window11 second divisor:a=3;b=11;quotient=3;remainder=2

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S059

S061 · implies

操作前

candidate=11;a divides=否;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴

規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S060

S062 · implies

操作前

window12 first divisor:divide natural 12 by positive 6

操作後

12=2·6+0

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S061

S063 · implies

操作前

window12 first divisor:a=6;b=12;quotient=2;remainder=0

操作後

divides=是;witness/status=2

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S062

S064 · implies

操作前

window12 second divisor:divide natural 12 by positive 3

操作後

12=4·3+0

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S063

S065 · implies

操作前

window12 second divisor:a=3;b=12;quotient=4;remainder=0

操作後

divides=是;witness/status=4

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S064

S066 · implies

操作前

candidate=12;a divides=是;b divides=是

操作後

common multiple=是

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴

規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S065

S067 · implies

操作前

window13 first divisor:divide natural 13 by positive 6

操作後

13=2·6+1

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S066

S068 · implies

操作前

window13 first divisor:a=6;b=13;quotient=2;remainder=1

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S067

S069 · implies

操作前

window13 second divisor:divide natural 13 by positive 3

操作後

13=4·3+1

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S068

S070 · implies

操作前

window13 second divisor:a=3;b=13;quotient=4;remainder=1

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S069

S071 · implies

操作前

candidate=13;a divides=否;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴

規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S070

S072 · implies

操作前

window14 first divisor:divide natural 14 by positive 6

操作後

14=2·6+2

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S071

S073 · implies

操作前

window14 first divisor:a=6;b=14;quotient=2;remainder=2

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S072

S074 · implies

操作前

window14 second divisor:divide natural 14 by positive 3

操作後

14=4·3+2

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S073

S075 · implies

操作前

window14 second divisor:a=3;b=14;quotient=4;remainder=2

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S074

S076 · implies

操作前

candidate=14;a divides=否;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴

規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S075

S077 · implies

操作前

window15 first divisor:divide natural 15 by positive 6

操作後

15=2·6+3

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S076

S078 · implies

操作前

window15 first divisor:a=6;b=15;quotient=2;remainder=3

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S077

S079 · implies

操作前

window15 second divisor:divide natural 15 by positive 3

操作後

15=5·3+0

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S078

S080 · implies

操作前

window15 second divisor:a=3;b=15;quotient=5;remainder=0

操作後

divides=是;witness/status=5

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S079

S081 · implies

操作前

candidate=15;a divides=否;b divides=是

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴

規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S080

S082 · implies

操作前

window16 first divisor:divide natural 16 by positive 6

操作後

16=2·6+4

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S081

S083 · implies

操作前

window16 first divisor:a=6;b=16;quotient=2;remainder=4

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S082

S084 · implies

操作前

window16 second divisor:divide natural 16 by positive 3

操作後

16=5·3+1

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S083

S085 · implies

操作前

window16 second divisor:a=3;b=16;quotient=5;remainder=1

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S084

S086 · implies

操作前

candidate=16;a divides=否;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴

規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S085

S087 · implies

操作前

window17 first divisor:divide natural 17 by positive 6

操作後

17=2·6+5

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S086

S088 · implies

操作前

window17 first divisor:a=6;b=17;quotient=2;remainder=5

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S087

S089 · implies

操作前

window17 second divisor:divide natural 17 by positive 3

操作後

17=5·3+2

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S088

S090 · implies

操作前

window17 second divisor:a=3;b=17;quotient=5;remainder=2

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S089

S091 · implies

操作前

candidate=17;a divides=否;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴

規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S090

S092 · implies

操作前

window18 first divisor:divide natural 18 by positive 6

操作後

18=3·6+0

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S091

S093 · implies

操作前

window18 first divisor:a=6;b=18;quotient=3;remainder=0

操作後

divides=是;witness/status=3

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S092

S094 · implies

操作前

window18 second divisor:divide natural 18 by positive 3

操作後

18=6·3+0

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S093

S095 · implies

操作前

window18 second divisor:a=3;b=18;quotient=6;remainder=0

操作後

divides=是;witness/status=6

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S094

S096 · implies

操作前

candidate=18;a divides=是;b divides=是

操作後

common multiple=是

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴

規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S095

S097 · implies

操作前

window19 first divisor:divide natural 19 by positive 6

操作後

19=3·6+1

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S096

S098 · implies

操作前

window19 first divisor:a=6;b=19;quotient=3;remainder=1

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S097

S099 · implies

操作前

window19 second divisor:divide natural 19 by positive 3

操作後

19=6·3+1

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S098

S100 · implies

操作前

window19 second divisor:a=3;b=19;quotient=6;remainder=1

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S099

S101 · implies

操作前

candidate=19;a divides=否;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴

規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S100

S102 · implies

操作前

window20 first divisor:divide natural 20 by positive 6

操作後

20=3·6+2

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S101

S103 · implies

操作前

window20 first divisor:a=6;b=20;quotient=3;remainder=2

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S102

S104 · implies

操作前

window20 second divisor:divide natural 20 by positive 3

操作後

20=6·3+2

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S103

S105 · implies

操作前

window20 second divisor:a=3;b=20;quotient=6;remainder=2

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S104

S106 · implies

操作前

candidate=20;a divides=否;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴

規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S105

S107 · implies

操作前

window21 first divisor:divide natural 21 by positive 6

操作後

21=3·6+3

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S106

S108 · implies

操作前

window21 first divisor:a=6;b=21;quotient=3;remainder=3

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S107

S109 · implies

操作前

window21 second divisor:divide natural 21 by positive 3

操作後

21=7·3+0

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S108

S110 · implies

操作前

window21 second divisor:a=3;b=21;quotient=7;remainder=0

操作後

divides=是;witness/status=7

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S109

S111 · implies

操作前

candidate=21;a divides=否;b divides=是

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴

規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S110

S112 · implies

操作前

window22 first divisor:divide natural 22 by positive 6

操作後

22=3·6+4

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S111

S113 · implies

操作前

window22 first divisor:a=6;b=22;quotient=3;remainder=4

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S112

S114 · implies

操作前

window22 second divisor:divide natural 22 by positive 3

操作後

22=7·3+1

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S113

S115 · implies

操作前

window22 second divisor:a=3;b=22;quotient=7;remainder=1

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S114

S116 · implies

操作前

candidate=22;a divides=否;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴

規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S115

S117 · implies

操作前

window23 first divisor:divide natural 23 by positive 6

操作後

23=3·6+5

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S116

S118 · implies

操作前

window23 first divisor:a=6;b=23;quotient=3;remainder=5

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S117

S119 · implies

操作前

window23 second divisor:divide natural 23 by positive 3

操作後

23=7·3+2

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S118

S120 · implies

操作前

window23 second divisor:a=3;b=23;quotient=7;remainder=2

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S119

S121 · implies

操作前

candidate=23;a divides=否;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴

規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S120

S122 · implies

操作前

window24 first divisor:divide natural 24 by positive 6

操作後

24=4·6+0

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S121

S123 · implies

操作前

window24 first divisor:a=6;b=24;quotient=4;remainder=0

操作後

divides=是;witness/status=4

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S122

S124 · implies

操作前

window24 second divisor:divide natural 24 by positive 3

操作後

24=8·3+0

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S123

S125 · implies

操作前

window24 second divisor:a=3;b=24;quotient=8;remainder=0

操作後

divides=是;witness/status=8

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S124

S126 · implies

操作前

candidate=24;a divides=是;b divides=是

操作後

common multiple=是

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴

規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S125

S127 · implies

操作前

window25 first divisor:divide natural 25 by positive 6

操作後

25=4·6+1

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S126

S128 · implies

操作前

window25 first divisor:a=6;b=25;quotient=4;remainder=1

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S127

S129 · implies

操作前

window25 second divisor:divide natural 25 by positive 3

操作後

25=8·3+1

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S128

S130 · implies

操作前

window25 second divisor:a=3;b=25;quotient=8;remainder=1

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S129

S131 · implies

操作前

candidate=25;a divides=否;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴

規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S130

S132 · implies

操作前

window26 first divisor:divide natural 26 by positive 6

操作後

26=4·6+2

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S131

S133 · implies

操作前

window26 first divisor:a=6;b=26;quotient=4;remainder=2

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S132

S134 · implies

操作前

window26 second divisor:divide natural 26 by positive 3

操作後

26=8·3+2

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S133

S135 · implies

操作前

window26 second divisor:a=3;b=26;quotient=8;remainder=2

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S134

S136 · implies

操作前

candidate=26;a divides=否;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴

規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S135

S137 · implies

操作前

window27 first divisor:divide natural 27 by positive 6

操作後

27=4·6+3

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S136

S138 · implies

操作前

window27 first divisor:a=6;b=27;quotient=4;remainder=3

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S137

S139 · implies

操作前

window27 second divisor:divide natural 27 by positive 3

操作後

27=9·3+0

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S138

S140 · implies

操作前

window27 second divisor:a=3;b=27;quotient=9;remainder=0

操作後

divides=是;witness/status=9

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S139

S141 · implies

操作前

candidate=27;a divides=否;b divides=是

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴

規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S140

S142 · implies

操作前

window28 first divisor:divide natural 28 by positive 6

操作後

28=4·6+4

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S141

S143 · implies

操作前

window28 first divisor:a=6;b=28;quotient=4;remainder=4

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S142

S144 · implies

操作前

window28 second divisor:divide natural 28 by positive 3

操作後

28=9·3+1

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S143

S145 · implies

操作前

window28 second divisor:a=3;b=28;quotient=9;remainder=1

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S144

S146 · implies

操作前

candidate=28;a divides=否;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴

規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S145

S147 · implies

操作前

window29 first divisor:divide natural 29 by positive 6

操作後

29=4·6+5

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S146

S148 · implies

操作前

window29 first divisor:a=6;b=29;quotient=4;remainder=5

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S147

S149 · implies

操作前

window29 second divisor:divide natural 29 by positive 3

操作後

29=9·3+2

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S148

S150 · implies

操作前

window29 second divisor:a=3;b=29;quotient=9;remainder=2

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S149

S151 · implies

操作前

candidate=29;a divides=否;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴

規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S150

S152 · implies

操作前

window30 first divisor:divide natural 30 by positive 6

操作後

30=5·6+0

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S151

S153 · implies

操作前

window30 first divisor:a=6;b=30;quotient=5;remainder=0

操作後

divides=是;witness/status=5

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S152

S154 · implies

操作前

window30 second divisor:divide natural 30 by positive 3

操作後

30=10·3+0

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S153

S155 · implies

操作前

window30 second divisor:a=3;b=30;quotient=10;remainder=0

操作後

divides=是;witness/status=10

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S154

S156 · implies

操作前

candidate=30;a divides=是;b divides=是

操作後

common multiple=是

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴

規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S155

S157 · implies

操作前

window31 first divisor:divide natural 31 by positive 6

操作後

31=5·6+1

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S156

S158 · implies

操作前

window31 first divisor:a=6;b=31;quotient=5;remainder=1

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S157

S159 · implies

操作前

window31 second divisor:divide natural 31 by positive 3

操作後

31=10·3+1

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S158

S160 · implies

操作前

window31 second divisor:a=3;b=31;quotient=10;remainder=1

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S159

S161 · implies

操作前

candidate=31;a divides=否;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴

規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S160

S162 · implies

操作前

window32 first divisor:divide natural 32 by positive 6

操作後

32=5·6+2

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S161

S163 · implies

操作前

window32 first divisor:a=6;b=32;quotient=5;remainder=2

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S162

S164 · implies

操作前

window32 second divisor:divide natural 32 by positive 3

操作後

32=10·3+2

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S163

S165 · implies

操作前

window32 second divisor:a=3;b=32;quotient=10;remainder=2

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S164

S166 · implies

操作前

candidate=32;a divides=否;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴

規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S165

S167 · implies

操作前

window33 first divisor:divide natural 33 by positive 6

操作後

33=5·6+3

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S166

S168 · implies

操作前

window33 first divisor:a=6;b=33;quotient=5;remainder=3

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S167

S169 · implies

操作前

window33 second divisor:divide natural 33 by positive 3

操作後

33=11·3+0

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S168

S170 · implies

操作前

window33 second divisor:a=3;b=33;quotient=11;remainder=0

操作後

divides=是;witness/status=11

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S169

S171 · implies

操作前

candidate=33;a divides=否;b divides=是

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴

規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S170

S172 · implies

操作前

window34 first divisor:divide natural 34 by positive 6

操作後

34=5·6+4

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S171

S173 · implies

操作前

window34 first divisor:a=6;b=34;quotient=5;remainder=4

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S172

S174 · implies

操作前

window34 second divisor:divide natural 34 by positive 3

操作後

34=11·3+1

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S173

S175 · implies

操作前

window34 second divisor:a=3;b=34;quotient=11;remainder=1

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S174

S176 · implies

操作前

candidate=34;a divides=否;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴

規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S175

S177 · implies

操作前

window35 first divisor:divide natural 35 by positive 6

操作後

35=5·6+5

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S176

S178 · implies

操作前

window35 first divisor:a=6;b=35;quotient=5;remainder=5

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S177

S179 · implies

操作前

window35 second divisor:divide natural 35 by positive 3

操作後

35=11·3+2

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S178

S180 · implies

操作前

window35 second divisor:a=3;b=35;quotient=11;remainder=2

操作後

divides=否;witness/status=不存在

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S179

S181 · implies

操作前

candidate=35;a divides=否;b divides=否

操作後

common multiple=否

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴

規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S180

S182 · implies

操作前

window36 first divisor:divide natural 36 by positive 6

操作後

36=6·6+0

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S181

S183 · implies

操作前

window36 first divisor:a=6;b=36;quotient=6;remainder=0

操作後

divides=是;witness/status=6

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S182

S184 · implies

操作前

window36 second divisor:divide natural 36 by positive 3

操作後

36=12·3+0

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S183

S185 · implies

操作前

window36 second divisor:a=3;b=36;quotient=12;remainder=0

操作後

divides=是;witness/status=12

條件：無

正a下，餘數0時商就是自然乘數見證；非零餘數由商餘唯一性排除整除，不把截斷商當見證。

步驟識別與依賴

規則：positive_divisor_remainder_criterion · 依賴：G001, S184

S186 · implies

操作前

candidate=36;a divides=是;b divides=是

操作後

common multiple=是

條件：無

同一候選必須同時被a與b整除；完整包含0和bound端點，遇零除數也依原整除定義處理。

步驟識別與依賴

規則：both_divisibility_window_guards · 依賴：G001, S185

逐步反向核對

  • S186 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S185 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S184 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S183 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S182 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S181 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S180 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S179 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S178 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S177 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S176 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S175 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S174 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S173 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S172 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S171 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S170 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S169 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S168 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S167 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S166 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S165 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S164 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S163 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S162 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S161 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S160 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S159 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S158 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
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結論

(6, 3, 36, [0, 6, 12, 18, 24, 30, 36])

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: 2d5e6d8cd5fc14c7d59e9a5457f0c308e76b4f0d2bbc1e3cfb6f0b9de9af004f
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  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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