第 31789 題：最大公因數與互質

原題與已知條件

自然數gcd。操作=gcd-euclid-trace；資料={"a":126,"b":77}。請依 [a,b,euclid_rows,gcd] 的欄序回答。

• G001 — 自然數gcd。操作=gcd-euclid-trace；資料={"a":126,"b":77}。請依 [a,b,euclid_rows,gcd] 的欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-gcd-coprime

逐步推導

source roles = [qf-ext18-gcd-euclid-trace, Nat_gcd, gcd-euclid-trace, no-form-field]

derived = [[a, b, ordered_Euclid_rows, gcd]]

GCD Euclid row0 ORIGINAL quotient times y := mul(1, 77)

GCD Euclid row0 ORIGINAL quotient times y = 77

GCD Euclid row0 ORIGINAL x minus qy := sub(126, 77)

GCD Euclid row0 ORIGINAL x minus qy = 49

source roles = [126, 77, 1]

derived = [77, 49, [126, 77, 49]]

GCD Euclid row1 ORIGINAL quotient times y := mul(1, 49)

GCD Euclid row1 ORIGINAL quotient times y = 49

GCD Euclid row1 ORIGINAL x minus qy := sub(77, 49)

GCD Euclid row1 ORIGINAL x minus qy = 28

source roles = [77, 49, 1]

derived = [49, 28, [77, 49, 28]]

GCD Euclid row2 ORIGINAL quotient times y := mul(1, 28)

GCD Euclid row2 ORIGINAL quotient times y = 28

GCD Euclid row2 ORIGINAL x minus qy := sub(49, 28)

GCD Euclid row2 ORIGINAL x minus qy = 21

source roles = [49, 28, 1]

derived = [28, 21, [49, 28, 21]]

GCD Euclid row3 ORIGINAL quotient times y := mul(1, 21)

GCD Euclid row3 ORIGINAL quotient times y = 21

GCD Euclid row3 ORIGINAL x minus qy := sub(28, 21)

GCD Euclid row3 ORIGINAL x minus qy = 7

source roles = [28, 21, 1]

derived = [21, 7, [28, 21, 7]]

GCD Euclid row4 ORIGINAL quotient times y := mul(3, 7)

GCD Euclid row4 ORIGINAL quotient times y = 21

GCD Euclid row4 ORIGINAL x minus qy := sub(21, 21)

GCD Euclid row4 ORIGINAL x minus qy = 0

source roles = [21, 7, 3]

derived = [21, 0, [21, 7, 0]]

source roles = [126, 77, [[126, 77, 49], [77, 49, 28], [49, 28, 21], [28, 21, 7], [21, 7, 0]]]

derived = [7, 0]

逐步反向核對

• S017 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S016 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row4 ORIGINAL x minus qy，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row4 ORIGINAL quotient times y，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row3 ORIGINAL x minus qy，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row3 ORIGINAL quotient times y，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row2 ORIGINAL x minus qy，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row2 ORIGINAL quotient times y，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row1 ORIGINAL x minus qy，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row1 ORIGINAL quotient times y，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row0 ORIGINAL x minus qy，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row0 ORIGINAL quotient times y，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。

結論

(126, 77, [[126, 77, 49], [77, 49, 28], [49, 28, 21], [28, 21, 7], [21, 7, 0]], 7)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。