R0018-09726 · q-20261013-advance-20261019-r02-neighborhood-0026
完整有限拓撲與指定點。操作=neighborhood-qualification；資料={"n":4,"opens":[[],[0],[0,1],[0,1,2],[0,1,2,3]],"x":0,"candidate":[0,1]}。請依 [n,x,point_qualified,candidate,x_in_candidate,candidate_open,neighborhood] 欄序回答。
G001 — 完整有限拓撲與指定點。操作=neighborhood-qualification；資料={"n":4,"opens":[[],[0],[0,1],[0,1,2],[0,1,2,3]],"x":0,"candidate":[0,1]}。請依 [n,x,point_qualified,candidate,x_in_candidate,candidate_open,neighborhood] 欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
n=4;raw open family=[[], [0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 1, 2, 3]]
操作後
universe=[0, 1, 2, 3];normalized opens=[[], [0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 1, 2, 3]];empty=是;full=是;union closed=是;intersection closed=是
條件：無
子集與族去重後按mask排序，完整核空集、全集及二元聯交閉合。有限底集合使任意聯集只需有限不同成員；本題要求真拓撲，非法資料不拿來算後續性質。
規則：given_complete_finite_topology_guard · 依賴：G001
操作前
point candidate=0;underlying Fin(4)
操作後
point qualified=是
條件：無
域外點不作鄰域判斷，不由負索引或空見證表製造假；候選集合的型別仍須獨立合格。
規則：neighborhood_point_domain_guard · 依賴：G001, S001
操作前
raw candidate=[0, 1]
操作後
typed normalized candidate=[0, 1]
條件：無
集合去重與點資格是分開的資料條件。
規則：neighborhood_candidate_set_normalization · 依賴：G001, S002
操作前
point=0;complete open family=[[], [0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 1, 2, 3]]
操作後
all point-containing opens=[[0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 1, 2, 3]]
條件：無
只取含該合法點的所有開集，作完整見證候選；鄰域本身不必開，只需包含其中至少一個。
規則：complete_point_open_witness_basis · 依賴：G001, S003
操作前
phase=candidate;point=0;candidate=[0, 1];point-open basis=[[0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 1, 2, 3]]
操作後
all contained open witnesses=[[0], [0, 1]];neighborhood=是
條件：無
依x∈U⊆candidate列出所有開見證；有一個即是鄰域，沒有才否定，不能只看candidate是否開或是否含點。
規則：all_open_neighborhood_witnesses · 依賴：G001, S004
操作前
point qualified=是;candidate=[0, 1]
操作後
contains point/status=是;open/status=是;neighborhood/status=是
條件：無
含點、開性與鄰域性分開列；域外點時協定三欄都不求值，而不是把可計算的集合開性偷填進去。
規則：neighborhood_membership_openness_not_identical · 依賴：G001, S005
S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。(4, 0, 是, [0, 1], 是, 是, 是)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: 9c35195b7b21730cbaf73d72ae8bac2138d75b83baaebe1d9023cba63975737fcandidate record SHA-256: e6cb60abdd572718b49c4859b944687b783e48814a7f274b70db514f6894325dsemantic review receipt SHA-256: bd35da62087a15d6b89b45585dc46e89b9efbe097cba7b3c707b5030496f013cquestion-first witness SHA-256: fab45a10d8ac95c7d61d32e47d1bdd3ca862c17c3289a6bf4b01d4dc9492fbb6Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED