R0018-09773 · q-20261013-advance-20261019-r02-neighborhood-0073
完整有限拓撲與指定點。操作=neighborhood-upward-closure；資料={"n":4,"opens":[[],[2],[2,3],[1,2,3],[0,1,2,3]],"x":2,"small":[2],"large":[0,1,2,3]}。請依 [n,x,point_qualified,small,large,small_subset_large,small_neighborhood,large_neighborhood] 欄序回答。
G001 — 完整有限拓撲與指定點。操作=neighborhood-upward-closure；資料={"n":4,"opens":[[],[2],[2,3],[1,2,3],[0,1,2,3]],"x":2,"small":[2],"large":[0,1,2,3]}。請依 [n,x,point_qualified,small,large,small_subset_large,small_neighborhood,large_neighborhood] 欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
n=4;raw open family=[[], [2], [2, 3], [1, 2, 3], [0, 1, 2, 3]]
操作後
universe=[0, 1, 2, 3];normalized opens=[[], [2], [2, 3], [1, 2, 3], [0, 1, 2, 3]];empty=是;full=是;union closed=是;intersection closed=是
條件：無
子集與族去重後按mask排序，完整核空集、全集及二元聯交閉合。有限底集合使任意聯集只需有限不同成員；本題要求真拓撲，非法資料不拿來算後續性質。
規則：given_complete_finite_topology_guard · 依賴：G001
操作前
point candidate=2;underlying Fin(4)
操作後
point qualified=是
條件：無
域外點不作鄰域判斷，不由負索引或空見證表製造假；候選集合的型別仍須獨立合格。
規則：neighborhood_point_domain_guard · 依賴：G001, S001
操作前
raw small=[2];raw large=[0, 1, 2, 3]
操作後
small=[2];large=[0, 1, 2, 3];small subset large=是
條件：無
先正規化兩個集合，即使點失格也不忽略非法集合資料；包含條件只比較同一底集合的原標籤。
規則：neighborhood_both_candidates_typed · 依賴：G001, S002
操作前
point=2;complete open family=[[], [2], [2, 3], [1, 2, 3], [0, 1, 2, 3]]
操作後
all point-containing opens=[[2], [2, 3], [1, 2, 3], [0, 1, 2, 3]]
條件：無
只取含該合法點的所有開集，作完整見證候選；鄰域本身不必開，只需包含其中至少一個。
規則：complete_point_open_witness_basis · 依賴：G001, S003
操作前
phase=small;point=2;candidate=[2];point-open basis=[[2], [2, 3], [1, 2, 3], [0, 1, 2, 3]]
操作後
all contained open witnesses=[[2]];neighborhood=是
條件：無
依x∈U⊆candidate列出所有開見證；有一個即是鄰域，沒有才否定，不能只看candidate是否開或是否含點。
規則：all_open_neighborhood_witnesses · 依賴：G001, S004
操作前
open witness=[2];small=[2];large=[0, 1, 2, 3]
操作後
point in witness and witness subset large=是;large neighborhood=是
條件：無
同一個含點開見證先包含於small，再由small⊆large包含於large，無須把large當成開集。
規則：neighborhood_upward_existing_witness · 依賴：G001, S005
操作前
point qualified=是;included=是;small neighborhood/status=是
操作後
conditional large neighborhood/status=是
條件：無
最後一欄只在全部指定前提成立時求值；前提失敗是此欄不求值，不表示large一定不是鄰域。
規則：neighborhood_upward_all_premises_before_value · 依賴：G001, S006
S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。(4, 2, 是, [2], [0, 1, 2, 3], 是, 是, 是)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: f778731638b5f810602701de955b9307147201131cdf0f26aa5263329c84fc68candidate record SHA-256: d69c189acfda966d1146bf17986dfe0516b4883b66bbc73a40c67546c864c311semantic review receipt SHA-256: bd35da62087a15d6b89b45585dc46e89b9efbe097cba7b3c707b5030496f013cquestion-first witness SHA-256: fab45a10d8ac95c7d61d32e47d1bdd3ca862c17c3289a6bf4b01d4dc9492fbb6Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED