R0018-09566 · q-20261013-advance-20261019-r05-algorithm-correctness-0066
完整有限正確性模型。操作=correctness-ranking-audit；資料={"n":6,"init":[0],"halt":[5],"steps":[[0,1],[1,2],[2,5],[0,3],[3,4],[4,5],[2,1]],"rank":[21,5,4,3,2,0]}。請依 [rank,bad_decrease_edges,ranking_valid,stuck,ranking_plus_no_stuck,actual_termination] 欄序回答。
G001 — 完整有限正確性模型。操作=correctness-ranking-audit；資料={"n":6,"init":[0],"halt":[5],"steps":[[0,1],[1,2],[2,5],[0,3],[3,4],[4,5],[2,1]],"rank":[21,5,4,3,2,0]}。請依 [rank,bad_decrease_edges,ranking_valid,stuck,ranking_plus_no_stuck,actual_termination] 欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
n=6;raw Init=[0];raw Halt=[5];raw Step=[[0, 1], [1, 2], [2, 5], [0, 3], [3, 4], [4, 5], [2, 1]]
操作後
Init=[0];Halt=[5];canonical raw Step=[[0, 1], [0, 3], [1, 2], [2, 1], [2, 5], [3, 4], [4, 5]]
條件：無
整張有限資料先合型，再去重原有向邊。保留halt的原始出邊在資料中，但執行語意在halt停止；不把stuck當成功halt，也不由一條prefix推一般程式終止。
規則：finite_transition_normalization · 依賴：G001
操作前
Init=[0]
操作後
zero-step reachable=[0]
條件：無
每個初始狀態以0步可達，包括初始即halt者；空Init沒有可達狀態。
規則：zero_step_reachability · 依賴：G001, S001
操作前
depth=0;state=0;halt=否;raw successors=[1, 3]
操作後
expanded successors=[1, 3];newly reached=[1, 3]
條件：無
從非halt狀態展開全部後繼，不只挑一條路；已見狀態不重複加入。halt即使列有出邊也不展開。
規則：reachability_halt_truncates_expansion · 依賴：G001, S002
操作前
completed frontier=[0];depth=0
操作後
next frontier=[1, 3];all reached=[0, 1, 3]
條件：無
前緣清空時才到達完整閉包；有限狀態及只加未見者保證此列舉終止，不依賴路徑長度抽樣。
規則：complete_finite_reachability_layer · 依賴：G001, S003
操作前
depth=1;state=1;halt=否;raw successors=[2]
操作後
expanded successors=[2];newly reached=[2]
條件：無
從非halt狀態展開全部後繼，不只挑一條路；已見狀態不重複加入。halt即使列有出邊也不展開。
規則：reachability_halt_truncates_expansion · 依賴：G001, S004
操作前
depth=1;state=3;halt=否;raw successors=[4]
操作後
expanded successors=[4];newly reached=[4]
條件：無
從非halt狀態展開全部後繼，不只挑一條路；已見狀態不重複加入。halt即使列有出邊也不展開。
規則：reachability_halt_truncates_expansion · 依賴：G001, S005
操作前
completed frontier=[1, 3];depth=1
操作後
next frontier=[2, 4];all reached=[0, 1, 2, 3, 4]
條件：無
前緣清空時才到達完整閉包；有限狀態及只加未見者保證此列舉終止，不依賴路徑長度抽樣。
規則：complete_finite_reachability_layer · 依賴：G001, S006
操作前
depth=2;state=2;halt=否;raw successors=[1, 5]
操作後
expanded successors=[1, 5];newly reached=[5]
條件：無
從非halt狀態展開全部後繼，不只挑一條路；已見狀態不重複加入。halt即使列有出邊也不展開。
規則：reachability_halt_truncates_expansion · 依賴：G001, S007
操作前
depth=2;state=4;halt=否;raw successors=[5]
操作後
expanded successors=[5];newly reached=[]
條件：無
從非halt狀態展開全部後繼，不只挑一條路；已見狀態不重複加入。halt即使列有出邊也不展開。
規則：reachability_halt_truncates_expansion · 依賴：G001, S008
操作前
completed frontier=[2, 4];depth=2
操作後
next frontier=[5];all reached=[0, 1, 2, 3, 4, 5]
條件：無
前緣清空時才到達完整閉包；有限狀態及只加未見者保證此列舉終止，不依賴路徑長度抽樣。
規則：complete_finite_reachability_layer · 依賴：G001, S009
操作前
depth=3;state=5;halt=是;raw successors=[]
操作後
expanded successors=[];newly reached=[]
條件：無
從非halt狀態展開全部後繼，不只挑一條路；已見狀態不重複加入。halt即使列有出邊也不展開。
規則：reachability_halt_truncates_expansion · 依賴：G001, S010
操作前
completed frontier=[5];depth=3
操作後
next frontier=[];all reached=[0, 1, 2, 3, 4, 5]
條件：無
前緣清空時才到達完整閉包；有限狀態及只加未見者保證此列舉終止，不依賴路徑長度抽樣。
規則：complete_finite_reachability_layer · 依賴：G001, S011
操作前
reached state=0;declared halt=否;raw successors=[1, 3]
操作後
status=active-nonhalt
條件：無
halt標記優先；非halt且無後繼才是stuck，有後繼者為active。沒有出邊不會自動變成成功停止。
規則：halt_stuck_active_are_distinct · 依賴：G001, S012
操作前
reached state=1;declared halt=否;raw successors=[2]
操作後
status=active-nonhalt
條件：無
halt標記優先；非halt且無後繼才是stuck，有後繼者為active。沒有出邊不會自動變成成功停止。
規則：halt_stuck_active_are_distinct · 依賴：G001, S013
操作前
reached state=2;declared halt=否;raw successors=[1, 5]
操作後
status=active-nonhalt
條件：無
halt標記優先；非halt且無後繼才是stuck，有後繼者為active。沒有出邊不會自動變成成功停止。
規則：halt_stuck_active_are_distinct · 依賴：G001, S014
操作前
reached state=3;declared halt=否;raw successors=[4]
操作後
status=active-nonhalt
條件：無
halt標記優先；非halt且無後繼才是stuck，有後繼者為active。沒有出邊不會自動變成成功停止。
規則：halt_stuck_active_are_distinct · 依賴：G001, S015
操作前
reached state=4;declared halt=否;raw successors=[5]
操作後
status=active-nonhalt
條件：無
halt標記優先；非halt且無後繼才是stuck，有後繼者為active。沒有出邊不會自動變成成功停止。
規則：halt_stuck_active_are_distinct · 依賴：G001, S016
操作前
reached state=5;declared halt=是;raw successors=[]
操作後
status=halt
條件：無
halt標記優先；非halt且無後繼才是stuck，有後繼者為active。沒有出邊不會自動變成成功停止。
規則：halt_stuck_active_are_distinct · 依賴：G001, S017
操作前
natural rank vector=[21, 5, 4, 3, 2, 0];reachable=[0, 1, 2, 3, 4, 5];Halt=[5]
操作後
all active ranking edges=[[0, 1], [0, 3], [1, 2], [2, 1], [2, 5], [3, 4], [4, 5]]
條件：無
自然數ranking只在可達非halt出邊要求嚴格下降，包含進入halt的邊；halt原始出邊不構成繼續執行。
規則：ranking_reachable_nonhalt_edge_scope · 依賴：G001, S018
操作前
rank decrease on edge0,1 := sub(21, 5)
操作後
rank decrease on edge0,1 = 16
條件：無
前態rank減後態rank，必須嚴格大於0才下降。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019
操作前
edge=[0, 1];ranks=[21, 5];difference=16
操作後
strictly decreasing=是
條件：無
相等不算下降；保留所有不下降的原邊，不只報第一條。
規則：ranking_each_strict_decrease · 依賴：G001, S020
操作前
rank decrease on edge0,3 := sub(21, 3)
操作後
rank decrease on edge0,3 = 18
條件：無
前態rank減後態rank，必須嚴格大於0才下降。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021
操作前
edge=[0, 3];ranks=[21, 3];difference=18
操作後
strictly decreasing=是
條件：無
相等不算下降；保留所有不下降的原邊，不只報第一條。
規則：ranking_each_strict_decrease · 依賴：G001, S022
操作前
rank decrease on edge1,2 := sub(5, 4)
操作後
rank decrease on edge1,2 = 1
條件：無
前態rank減後態rank，必須嚴格大於0才下降。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023
操作前
edge=[1, 2];ranks=[5, 4];difference=1
操作後
strictly decreasing=是
條件：無
相等不算下降；保留所有不下降的原邊，不只報第一條。
規則：ranking_each_strict_decrease · 依賴：G001, S024
操作前
rank decrease on edge2,1 := sub(4, 5)
操作後
rank decrease on edge2,1 = -1
條件：無
前態rank減後態rank，必須嚴格大於0才下降。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025
操作前
edge=[2, 1];ranks=[4, 5];difference=-1
操作後
strictly decreasing=否
條件：無
相等不算下降；保留所有不下降的原邊，不只報第一條。
規則：ranking_each_strict_decrease · 依賴：G001, S026
操作前
rank decrease on edge2,5 := sub(4, 0)
操作後
rank decrease on edge2,5 = 4
條件：無
前態rank減後態rank，必須嚴格大於0才下降。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027
操作前
edge=[2, 5];ranks=[4, 0];difference=4
操作後
strictly decreasing=是
條件：無
相等不算下降；保留所有不下降的原邊，不只報第一條。
規則：ranking_each_strict_decrease · 依賴：G001, S028
操作前
rank decrease on edge3,4 := sub(3, 2)
操作後
rank decrease on edge3,4 = 1
條件：無
前態rank減後態rank，必須嚴格大於0才下降。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029
操作前
edge=[3, 4];ranks=[3, 2];difference=1
操作後
strictly decreasing=是
條件：無
相等不算下降；保留所有不下降的原邊，不只報第一條。
規則：ranking_each_strict_decrease · 依賴：G001, S030
操作前
rank decrease on edge4,5 := sub(2, 0)
操作後
rank decrease on edge4,5 = 2
條件：無
前態rank減後態rank，必須嚴格大於0才下降。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031
操作前
edge=[4, 5];ranks=[2, 0];difference=2
操作後
strictly decreasing=是
條件：無
相等不算下降；保留所有不下降的原邊，不只報第一條。
規則：ranking_each_strict_decrease · 依賴：G001, S032
操作前
reachable=[0, 1, 2, 3, 4, 5];Halt=[5]
操作後
reachable nonhalt graph vertices=[0, 1, 2, 3, 4]
條件：無
只在可達且非halt的子圖查環；不可達環與halt出邊不影響這個執行問題。
規則：reachable_nonhalt_cycle_scope · 依賴：G001, S033
操作前
peeling layer=0;remaining=[0, 1, 2, 3, 4]
操作後
vertices with no remaining nonhalt successor=[4]
條件：無
逐層移除沒有剩餘非halt後繼的頂點；有向環的頂點不可能被這樣移除。stuck也可能被移除，所以另保留stuck檢查。
規則：finite_cycle_sink_peeling · 依賴：G001, S034
操作前
peeling layer=1;remaining=[0, 1, 2, 3]
操作後
vertices with no remaining nonhalt successor=[3]
條件：無
逐層移除沒有剩餘非halt後繼的頂點；有向環的頂點不可能被這樣移除。stuck也可能被移除，所以另保留stuck檢查。
規則：finite_cycle_sink_peeling · 依賴：G001, S035
操作前
peeling layer=2;remaining=[0, 1, 2]
操作後
vertices with no remaining nonhalt successor=[]
條件：無
逐層移除沒有剩餘非halt後繼的頂點；有向環的頂點不可能被這樣移除。stuck也可能被移除，所以另保留stuck檢查。
規則：finite_cycle_sink_peeling · 依賴：G001, S036
操作前
nonempty residual=[0, 1, 2];deterministic walk=[0, 1, 2, 1]
操作後
reachable nonhalt cycle=[1, 2, 1]
條件：無
剩餘每點都有剩餘後繼，沿最小標籤後繼走，有限集合必重複頂點並給出實際環；可選擇一直走這個環，所以即使也有halt出口，仍非所有路徑到halt。
規則：explicit_reachable_cycle_witness · 依賴：G001, S037
操作前
reachable stuck=[];reachable nonhalt cycle=是
操作後
all paths reach Halt=否
條件：無
有限模型中，無窮非halt路徑必重複狀態而有環；有限極大路徑若不halt就停在stuck。因此排除兩者才是所有路徑到halt。空Init時是空泛真，不外推任意無限狀態程式。
規則：finite_all_paths_termination_joint_gate · 依賴：G001, S038
操作前
ranking valid=否;reachable stuck=[]
操作後
ranking plus no stuck=否;actual all-path termination=否
條件：無
自然數嚴格下降排除無窮執行，但仍要排除stuck才到成功halt。候選ranking失敗不代表模型不終止；實際終止性由完整有限圖另核。
規則：ranking_candidate_not_actual_termination_identity · 依賴：G001, S039
S040 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S039 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S037 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S036 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S035 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S034 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 rank decrease on edge4,5，不以小數近似替代。S031 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 rank decrease on edge3,4，不以小數近似替代。S029 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 rank decrease on edge2,5，不以小數近似替代。S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 rank decrease on edge2,1，不以小數近似替代。S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 rank decrease on edge1,2，不以小數近似替代。S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 rank decrease on edge0,3，不以小數近似替代。S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 rank decrease on edge0,1，不以小數近似替代。S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。([21, 5, 4, 3, 2, 0], [[2, 1]], 否, [], 否, 否)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: 9da362901e88db1edf43f3d8df4599772842a40602db59a7bd3d2efe9e24898bcandidate record SHA-256: 7392367a804081d92882e57e9f7853a9b8c74face706d439041ee2f2e4d3a178semantic review receipt SHA-256: bd35da62087a15d6b89b45585dc46e89b9efbe097cba7b3c707b5030496f013cquestion-first witness SHA-256: fab45a10d8ac95c7d61d32e47d1bdd3ca862c17c3289a6bf4b01d4dc9492fbb6Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED