第 1916 題：多項式 ODE 候選核對

原題與已知條件

整係數多項式候選。操作=ode-first-order-residual；資料={"coefficients":[3,1,-1],"p":-2,"q":10,"x":-2}。請依 [coefficients,x,y,y_prime,p,q,residual,is_solution_at_x] 欄序回答。

• G001 — 整係數多項式候選。操作=ode-first-order-residual；資料={"coefficients":[3,1,-1],"p":-2,"q":10,"x":-2}。請依 [coefficients,x,y,y_prime,p,q,residual,is_solution_at_x] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-ordinary-differential-equation

逐步推導

candidate y ascending coefficients=[3, 1, -1]

audit point x=-2

y′ coefficient at degree0 := mul(1, 1)

y′ coefficient at degree0 = 1

y′ coefficient at degree1 := mul(2, -1)

y′ coefficient at degree1 = -2

y ascending coefficients=[3, 1, -1]

evaluate at x=-2

y Horner multiply before degree1 := mul(-1, -2)

y Horner multiply before degree1 = 2

y Horner add degree1 := sum(2, 1)

y Horner add degree1 = 3

y Horner multiply before degree0 := mul(3, -2)

y Horner multiply before degree0 = -6

y Horner add degree0 := sum(-6, 3)

y Horner add degree0 = -3

y′ ascending coefficients=[1, -2]

evaluate at x=-2

y′ Horner multiply before degree0 := mul(-2, -2)

y′ Horner multiply before degree0 = 4

y′ Horner add degree0 := sum(4, 1)

y′ Horner add degree0 = 5

p·y := mul(-2, -3)

p·y = 6

y′−p·y := sub(5, 6)

y′−p·y = -1

y′−p·y−q := sub(-1, 10)

y′−p·y−q = -11

residual at x=-2 is -11

equation holds at this point: 否

global solution would require the residual identity on the declared domain

no automatic existence,uniqueness or global-solution claim

逐步反向核對

• S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y′−p·y−q，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y′−p·y，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 p·y，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y′ Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y′ Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y Horner add degree1，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y Horner multiply before degree1，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y′ coefficient at degree1，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y′ coefficient at degree0，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([3, 1, -1], -2, -3, 5, -2, 10, -11, 否)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。