第 1980 題：多項式 ODE 候選核對

原題與已知條件

整係數多項式候選。操作=ode-second-order-residual；資料={"coefficients":[-4,2,2,1],"a":5,"b":1,"c":0,"rhs":-8,"x":2}。請依 [coefficients,x,y,y_prime,y_second,a,b,c,rhs,residual,is_solution_at_x] 欄序回答。

• G001 — 整係數多項式候選。操作=ode-second-order-residual；資料={"coefficients":[-4,2,2,1],"a":5,"b":1,"c":0,"rhs":-8,"x":2}。請依 [coefficients,x,y,y_prime,y_second,a,b,c,rhs,residual,is_solution_at_x] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-ordinary-differential-equation

逐步推導

candidate y ascending coefficients=[-4, 2, 2, 1]

audit point x=2

y′ coefficient at degree0 := mul(1, 2)

y′ coefficient at degree0 = 2

y′ coefficient at degree1 := mul(2, 2)

y′ coefficient at degree1 = 4

y′ coefficient at degree2 := mul(3, 1)

y′ coefficient at degree2 = 3

y″ coefficient at degree0 := mul(1, 4)

y″ coefficient at degree0 = 4

y″ coefficient at degree1 := mul(2, 3)

y″ coefficient at degree1 = 6

y ascending coefficients=[-4, 2, 2, 1]

evaluate at x=2

y Horner multiply before degree2 := mul(1, 2)

y Horner multiply before degree2 = 2

y Horner add degree2 := sum(2, 2)

y Horner add degree2 = 4

y Horner multiply before degree1 := mul(4, 2)

y Horner multiply before degree1 = 8

y Horner add degree1 := sum(8, 2)

y Horner add degree1 = 10

y Horner multiply before degree0 := mul(10, 2)

y Horner multiply before degree0 = 20

y Horner add degree0 := sum(20, -4)

y Horner add degree0 = 16

y′ ascending coefficients=[2, 4, 3]

evaluate at x=2

y′ Horner multiply before degree1 := mul(3, 2)

y′ Horner multiply before degree1 = 6

y′ Horner add degree1 := sum(6, 4)

y′ Horner add degree1 = 10

y′ Horner multiply before degree0 := mul(10, 2)

y′ Horner multiply before degree0 = 20

y′ Horner add degree0 := sum(20, 2)

y′ Horner add degree0 = 22

y″ ascending coefficients=[4, 6]

evaluate at x=2

y″ Horner multiply before degree0 := mul(6, 2)

y″ Horner multiply before degree0 = 12

y″ Horner add degree0 := sum(12, 4)

y″ Horner add degree0 = 16

a·y″ := mul(5, 16)

a·y″ = 80

b·y′ := mul(1, 22)

b·y′ = 22

c·y := mul(0, 16)

c·y = 0

a·y″+b·y′+c·y := sum(80, 22, 0)

a·y″+b·y′+c·y = 102

second-order residual := sub(102, -8)

second-order residual = 110

residual at x=2 is 110

equation holds at this point: 否

global solution would require the residual identity on the declared domain

no automatic existence,uniqueness or global-solution claim

逐步反向核對

• S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 second-order residual，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 a·y″+b·y′+c·y，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 c·y，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 b·y′，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 a·y″，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y″ Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y″ Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y′ Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y′ Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y′ Horner add degree1，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y′ Horner multiply before degree1，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y Horner add degree1，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y Horner multiply before degree1，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y Horner add degree2，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y Horner multiply before degree2，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y″ coefficient at degree1，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y″ coefficient at degree0，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y′ coefficient at degree2，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y′ coefficient at degree1，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y′ coefficient at degree0，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([-4, 2, 2, 1], 2, 16, 22, 16, 5, 1, 0, -8, 110, 否)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。