第 1982 題：多項式 ODE 候選核對

原題與已知條件

整係數多項式候選。操作=ode-second-order-residual；資料={"coefficients":[-2,-1,1,0],"a":2,"b":3,"c":2,"rhs":-2,"x":-1}。請依 [coefficients,x,y,y_prime,y_second,a,b,c,rhs,residual,is_solution_at_x] 欄序回答。

• G001 — 整係數多項式候選。操作=ode-second-order-residual；資料={"coefficients":[-2,-1,1,0],"a":2,"b":3,"c":2,"rhs":-2,"x":-1}。請依 [coefficients,x,y,y_prime,y_second,a,b,c,rhs,residual,is_solution_at_x] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-ordinary-differential-equation

逐步推導

candidate y ascending coefficients=[-2, -1, 1, 0]

audit point x=-1

y′ coefficient at degree0 := mul(1, -1)

y′ coefficient at degree0 = -1

y′ coefficient at degree1 := mul(2, 1)

y′ coefficient at degree1 = 2

y′ coefficient at degree2 := mul(3, 0)

y′ coefficient at degree2 = 0

y″ coefficient at degree0 := mul(1, 2)

y″ coefficient at degree0 = 2

y″ coefficient at degree1 := mul(2, 0)

y″ coefficient at degree1 = 0

y ascending coefficients=[-2, -1, 1, 0]

evaluate at x=-1

y Horner multiply before degree1 := mul(1, -1)

y Horner multiply before degree1 = -1

y Horner add degree1 := sum(-1, -1)

y Horner add degree1 = -2

y Horner multiply before degree0 := mul(-2, -1)

y Horner multiply before degree0 = 2

y Horner add degree0 := sum(2, -2)

y Horner add degree0 = 0

y′ ascending coefficients=[-1, 2, 0]

evaluate at x=-1

y′ Horner multiply before degree0 := mul(2, -1)

y′ Horner multiply before degree0 = -2

y′ Horner add degree0 := sum(-2, -1)

y′ Horner add degree0 = -3

y″ ascending coefficients=[2, 0]

evaluate at x=-1

a·y″ := mul(2, 2)

a·y″ = 4

b·y′ := mul(3, -3)

b·y′ = -9

c·y := mul(2, 0)

c·y = 0

a·y″+b·y′+c·y := sum(4, -9, 0)

a·y″+b·y′+c·y = -5

second-order residual := sub(-5, -2)

second-order residual = -3

residual at x=-1 is -3

equation holds at this point: 否

global solution would require the residual identity on the declared domain

no automatic existence,uniqueness or global-solution claim

逐步反向核對

• S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 second-order residual，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 a·y″+b·y′+c·y，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 c·y，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 b·y′，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 a·y″，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y′ Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y′ Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y Horner add degree1，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y Horner multiply before degree1，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y″ coefficient at degree1，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y″ coefficient at degree0，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y′ coefficient at degree2，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y′ coefficient at degree1，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y′ coefficient at degree0，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([-2, -1, 1, 0], -1, 0, -3, 2, 2, 3, 2, -2, -3, 否)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。