第 1988 題：多項式 ODE 候選核對

原題與已知條件

整係數多項式候選。操作=ode-second-order-residual；資料={"coefficients":[4,0,-2,0],"a":3,"b":2,"c":-1,"rhs":16,"x":0}。請依 [coefficients,x,y,y_prime,y_second,a,b,c,rhs,residual,is_solution_at_x] 欄序回答。

• G001 — 整係數多項式候選。操作=ode-second-order-residual；資料={"coefficients":[4,0,-2,0],"a":3,"b":2,"c":-1,"rhs":16,"x":0}。請依 [coefficients,x,y,y_prime,y_second,a,b,c,rhs,residual,is_solution_at_x] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-ordinary-differential-equation

逐步推導

candidate y ascending coefficients=[4, 0, -2, 0]

audit point x=0

y′ coefficient at degree0 := mul(1, 0)

y′ coefficient at degree0 = 0

y′ coefficient at degree1 := mul(2, -2)

y′ coefficient at degree1 = -4

y′ coefficient at degree2 := mul(3, 0)

y′ coefficient at degree2 = 0

y″ coefficient at degree0 := mul(1, -4)

y″ coefficient at degree0 = -4

y″ coefficient at degree1 := mul(2, 0)

y″ coefficient at degree1 = 0

y ascending coefficients=[4, 0, -2, 0]

evaluate at x=0

y Horner multiply before degree1 := mul(-2, 0)

y Horner multiply before degree1 = 0

y Horner add degree1 := sum(0, 0)

y Horner add degree1 = 0

y Horner multiply before degree0 := mul(0, 0)

y Horner multiply before degree0 = 0

y Horner add degree0 := sum(0, 4)

y Horner add degree0 = 4

y′ ascending coefficients=[0, -4, 0]

evaluate at x=0

y′ Horner multiply before degree0 := mul(-4, 0)

y′ Horner multiply before degree0 = 0

y′ Horner add degree0 := sum(0, 0)

y′ Horner add degree0 = 0

y″ ascending coefficients=[-4, 0]

evaluate at x=0

a·y″ := mul(3, -4)

a·y″ = -12

b·y′ := mul(2, 0)

b·y′ = 0

c·y := mul(-1, 4)

c·y = -4

a·y″+b·y′+c·y := sum(-12, 0, -4)

a·y″+b·y′+c·y = -16

second-order residual := sub(-16, 16)

second-order residual = -32

residual at x=0 is -32

equation holds at this point: 否

global solution would require the residual identity on the declared domain

no automatic existence,uniqueness or global-solution claim

逐步反向核對

• S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 second-order residual，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 a·y″+b·y′+c·y，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 c·y，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 b·y′，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 a·y″，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y′ Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y′ Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y Horner add degree1，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y Horner multiply before degree1，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y″ coefficient at degree1，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y″ coefficient at degree0，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y′ coefficient at degree2，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y′ coefficient at degree1，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y′ coefficient at degree0，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([4, 0, -2, 0], 0, 4, 0, -4, 3, 2, -1, 16, -32, 否)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。