第 1769 題：離散固定因子模型

原題與已知條件

固定時間步與精確固定因子。操作=growth-nth-term；資料={"initial":[10,4],"factor":[3,2],"n":3}。請依 [initial,factor,n,term] 欄序回答。

• G001 — 固定時間步與精確固定因子。操作=growth-nth-term；資料={"initial":[10,4],"factor":[3,2],"n":3}。請依 [initial,factor,n,term] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-discrete-exponential-growth

逐步推導

factor q=3/2≥0

X_(k+1)=q·X_k

X₀=5/2; n=3

n=0 uses the initial value; an empty product equals1

X_1 := mul(5/2, 3/2)

X_1 = 15/4

X_2 := mul(15/4, 3/2)

X_2 = 45/8

X_3 := mul(45/8, 3/2)

X_3 = 135/16

X_k=X₀q^k ⇒ X_(k+1)=qX_k=X₀q^(k+1)

X_n=X₀q^n for every nonnegative integer n

(3/2)^3

q^n = 27/8

closed-form X_n := mul(5/2, 27/8)

closed-form X_n = 135/16

逐步反向核對

• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 closed-form X_n，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X_3，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X_2，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X_1，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(5/2, 3/2, 3, 135/16)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。