第 2581 題：有限軌道與週期

原題與已知條件

完整有限狀態自映射。操作=orbit-return-time-audit；資料={"modulus":10,"a":2,"b":-3,"x":5,"p":6}。請依 [modulus,a,b,x,p,T_power_x,returns,least_period,period_exactly_p] 欄序回答。

• G001 — 完整有限狀態自映射。操作=orbit-return-time-audit；資料={"modulus":10,"a":2,"b":-3,"x":5,"p":6}。請依 [modulus,a,b,x,p,T_power_x,returns,least_period,period_exactly_p] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-orbit-fixed-periodic

逐步推導

n=10; a=2; b=-3

S={0,...,9}; T(z)=(a·z+b) mod n

start=5

record each state before its first successor calculation

least period step1 product := mul(2, 5)

least period step1 product = 10

least period step1 affine value := sum(10, -3)

least period step1 affine value = 7

Euclidean division of 7 by 10

7=0·10+7

least period step2 product := mul(2, 7)

least period step2 product = 14

least period step2 affine value := sum(14, -3)

least period step2 affine value = 11

Euclidean division of 11 by 10

11=1·10+1

least period step3 product := mul(2, 1)

least period step3 product = 2

least period step3 affine value := sum(2, -3)

least period step3 affine value = -1

Euclidean division of -1 by 10

-1=-1·10+9

least period step4 product := mul(2, 9)

least period step4 product = 18

least period step4 affine value := sum(18, -3)

least period step4 affine value = 15

Euclidean division of 15 by 10

15=1·10+5

distinct trace=[5, 7, 1, 9]; first repeated state=5

cycle_start=0; starting-point least period=4

return audit1 product := mul(2, 5)

return audit1 product = 10

return audit1 affine value := sum(10, -3)

return audit1 affine value = 7

Euclidean division of 7 by 10

7=0·10+7

return audit2 product := mul(2, 7)

return audit2 product = 14

return audit2 affine value := sum(14, -3)

return audit2 affine value = 11

Euclidean division of 11 by 10

11=1·10+1

return audit3 product := mul(2, 1)

return audit3 product = 2

return audit3 affine value := sum(2, -3)

return audit3 affine value = -1

Euclidean division of -1 by 10

-1=-1·10+9

return audit4 product := mul(2, 9)

return audit4 product = 18

return audit4 affine value := sum(18, -3)

return audit4 affine value = 15

Euclidean division of 15 by 10

15=1·10+5

return audit5 product := mul(2, 5)

return audit5 product = 10

return audit5 affine value := sum(10, -3)

return audit5 affine value = 7

Euclidean division of 7 by 10

7=0·10+7

return audit6 product := mul(2, 7)

return audit6 product = 14

return audit6 affine value := sum(14, -3)

return audit6 affine value = 11

Euclidean division of 11 by 10

11=1·10+1

T^6(5)=1; least period=4

returns=否; period exactly p=否

逐步反向核對

• S034 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 return audit6 affine value，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 return audit6 product，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 return audit5 affine value，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 return audit5 product，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 return audit4 affine value，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 return audit4 product，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 return audit3 affine value，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 return audit3 product，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 return audit2 affine value，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 return audit2 product，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 return audit1 affine value，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 return audit1 product，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 依固定自映射重播循環；只對這個完整有限模型推出回返或不回返，不延伸到未給定的系統。
• S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 least period step4 affine value，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 least period step4 product，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 least period step3 affine value，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 least period step3 product，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 least period step2 affine value，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 least period step2 product，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 least period step1 affine value，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 least period step1 product，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(10, 2, -3, 5, 6, 1, 否, 4, 否)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。