第 2598 題：有限軌道與週期

原題與已知條件

完整有限狀態自映射。操作=orbit-return-time-audit；資料={"modulus":9,"a":-2,"b":14,"x":4,"p":7}。請依 [modulus,a,b,x,p,T_power_x,returns,least_period,period_exactly_p] 欄序回答。

• G001 — 完整有限狀態自映射。操作=orbit-return-time-audit；資料={"modulus":9,"a":-2,"b":14,"x":4,"p":7}。請依 [modulus,a,b,x,p,T_power_x,returns,least_period,period_exactly_p] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-orbit-fixed-periodic

逐步推導

n=9; a=-2; b=14

S={0,...,8}; T(z)=(a·z+b) mod n

start=4

record each state before its first successor calculation

least period step1 product := mul(-2, 4)

least period step1 product = -8

least period step1 affine value := sum(-8, 14)

least period step1 affine value = 6

Euclidean division of 6 by 9

6=0·9+6

least period step2 product := mul(-2, 6)

least period step2 product = -12

least period step2 affine value := sum(-12, 14)

least period step2 affine value = 2

Euclidean division of 2 by 9

2=0·9+2

least period step3 product := mul(-2, 2)

least period step3 product = -4

least period step3 affine value := sum(-4, 14)

least period step3 affine value = 10

Euclidean division of 10 by 9

10=1·9+1

least period step4 product := mul(-2, 1)

least period step4 product = -2

least period step4 affine value := sum(-2, 14)

least period step4 affine value = 12

Euclidean division of 12 by 9

12=1·9+3

least period step5 product := mul(-2, 3)

least period step5 product = -6

least period step5 affine value := sum(-6, 14)

least period step5 affine value = 8

Euclidean division of 8 by 9

8=0·9+8

least period step6 product := mul(-2, 8)

least period step6 product = -16

least period step6 affine value := sum(-16, 14)

least period step6 affine value = -2

Euclidean division of -2 by 9

-2=-1·9+7

least period step7 product := mul(-2, 7)

least period step7 product = -14

least period step7 affine value := sum(-14, 14)

least period step7 affine value = 0

Euclidean division of 0 by 9

0=0·9+0

least period step8 product := mul(-2, 0)

least period step8 product = 0

least period step8 affine value := sum(0, 14)

least period step8 affine value = 14

Euclidean division of 14 by 9

14=1·9+5

least period step9 product := mul(-2, 5)

least period step9 product = -10

least period step9 affine value := sum(-10, 14)

least period step9 affine value = 4

Euclidean division of 4 by 9

4=0·9+4

distinct trace=[4, 6, 2, 1, 3, 8, 7, 0, 5]; first repeated state=4

cycle_start=0; starting-point least period=9

return audit1 product := mul(-2, 4)

return audit1 product = -8

return audit1 affine value := sum(-8, 14)

return audit1 affine value = 6

Euclidean division of 6 by 9

6=0·9+6

return audit2 product := mul(-2, 6)

return audit2 product = -12

return audit2 affine value := sum(-12, 14)

return audit2 affine value = 2

Euclidean division of 2 by 9

2=0·9+2

return audit3 product := mul(-2, 2)

return audit3 product = -4

return audit3 affine value := sum(-4, 14)

return audit3 affine value = 10

Euclidean division of 10 by 9

10=1·9+1

return audit4 product := mul(-2, 1)

return audit4 product = -2

return audit4 affine value := sum(-2, 14)

return audit4 affine value = 12

Euclidean division of 12 by 9

12=1·9+3

return audit5 product := mul(-2, 3)

return audit5 product = -6

return audit5 affine value := sum(-6, 14)

return audit5 affine value = 8

Euclidean division of 8 by 9

8=0·9+8

return audit6 product := mul(-2, 8)

return audit6 product = -16

return audit6 affine value := sum(-16, 14)

return audit6 affine value = -2

Euclidean division of -2 by 9

-2=-1·9+7

return audit7 product := mul(-2, 7)

return audit7 product = -14

return audit7 affine value := sum(-14, 14)

return audit7 affine value = 0

Euclidean division of 0 by 9

0=0·9+0

T^7(4)=0; least period=9

returns=否; period exactly p=否

逐步反向核對

• S052 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S051 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 return audit7 affine value，不以小數近似替代。
• S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 return audit7 product，不以小數近似替代。
• S048 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 return audit6 affine value，不以小數近似替代。
• S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 return audit6 product，不以小數近似替代。
• S045 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 return audit5 affine value，不以小數近似替代。
• S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 return audit5 product，不以小數近似替代。
• S042 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 return audit4 affine value，不以小數近似替代。
• S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 return audit4 product，不以小數近似替代。
• S039 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 return audit3 affine value，不以小數近似替代。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 return audit3 product，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 return audit2 affine value，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 return audit2 product，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 return audit1 affine value，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 return audit1 product，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 依固定自映射重播循環；只對這個完整有限模型推出回返或不回返，不延伸到未給定的系統。
• S029 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 least period step9 affine value，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 least period step9 product，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 least period step8 affine value，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 least period step8 product，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 least period step7 affine value，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 least period step7 product，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 least period step6 affine value，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 least period step6 product，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 least period step5 affine value，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 least period step5 product，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 least period step4 affine value，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 least period step4 product，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 least period step3 affine value，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 least period step3 product，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 least period step2 affine value，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 least period step2 product，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 least period step1 affine value，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 least period step1 product，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(9, -2, 14, 4, 7, 0, 否, 9, 否)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。