第 2546 題：有限軌道與週期

原題與已知條件

完整有限狀態自映射。操作=orbit-least-period；資料={"modulus":7,"a":3,"b":12,"x":6}。請依 [modulus,a,b,x,trace,repeat,cycle_start,least_period_or_nonperiodic] 欄序回答。

• G001 — 完整有限狀態自映射。操作=orbit-least-period；資料={"modulus":7,"a":3,"b":12,"x":6}。請依 [modulus,a,b,x,trace,repeat,cycle_start,least_period_or_nonperiodic] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-orbit-fixed-periodic

逐步推導

n=7; a=3; b=12

S={0,...,6}; T(z)=(a·z+b) mod n

start=6

record each state before its first successor calculation

least period step1 product := mul(3, 6)

least period step1 product = 18

least period step1 affine value := sum(18, 12)

least period step1 affine value = 30

Euclidean division of 30 by 7

30=4·7+2

least period step2 product := mul(3, 2)

least period step2 product = 6

least period step2 affine value := sum(6, 12)

least period step2 affine value = 18

Euclidean division of 18 by 7

18=2·7+4

least period step3 product := mul(3, 4)

least period step3 product = 12

least period step3 affine value := sum(12, 12)

least period step3 affine value = 24

Euclidean division of 24 by 7

24=3·7+3

least period step4 product := mul(3, 3)

least period step4 product = 9

least period step4 affine value := sum(9, 12)

least period step4 affine value = 21

Euclidean division of 21 by 7

21=3·7+0

least period step5 product := mul(3, 0)

least period step5 product = 0

least period step5 affine value := sum(0, 12)

least period step5 affine value = 12

Euclidean division of 12 by 7

12=1·7+5

least period step6 product := mul(3, 5)

least period step6 product = 15

least period step6 affine value := sum(15, 12)

least period step6 affine value = 27

Euclidean division of 27 by 7

27=3·7+6

distinct trace=[6, 2, 4, 3, 0, 5]; first repeated state=6

cycle_start=0; starting-point least period=6

逐步反向核對

• S021 · premise_and_result_audit — 依固定自映射重播循環；只對這個完整有限模型推出回返或不回返，不延伸到未給定的系統。
• S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 least period step6 affine value，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 least period step6 product，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 least period step5 affine value，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 least period step5 product，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 least period step4 affine value，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 least period step4 product，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 least period step3 affine value，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 least period step3 product，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 least period step2 affine value，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 least period step2 product，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 least period step1 affine value，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 least period step1 product，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(7, 3, 12, 6, [6, 2, 4, 3, 0, 5], 6, 0, 6)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。