第 2551 題：有限軌道與週期

原題與已知條件

完整有限狀態自映射。操作=orbit-periodic-inventory；資料={"modulus":5,"a":-3,"b":-8,"period_bound":1}。請依 [modulus,a,b,period_bound,point_period_rows,selected_points] 欄序回答。

• G001 — 完整有限狀態自映射。操作=orbit-periodic-inventory；資料={"modulus":5,"a":-3,"b":-8,"period_bound":1}。請依 [modulus,a,b,period_bound,point_period_rows,selected_points] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-orbit-fixed-periodic

逐步推導

n=5; a=-3; b=-8

S={0,...,4}; T(z)=(a·z+b) mod n

start=0

record each state before its first successor calculation

point0 step1 product := mul(-3, 0)

point0 step1 product = 0

point0 step1 affine value := sum(0, -8)

point0 step1 affine value = -8

Euclidean division of -8 by 5

-8=-2·5+2

point0 step2 product := mul(-3, 2)

point0 step2 product = -6

point0 step2 affine value := sum(-6, -8)

point0 step2 affine value = -14

Euclidean division of -14 by 5

-14=-3·5+1

point0 step3 product := mul(-3, 1)

point0 step3 product = -3

point0 step3 affine value := sum(-3, -8)

point0 step3 affine value = -11

Euclidean division of -11 by 5

-11=-3·5+4

point0 step4 product := mul(-3, 4)

point0 step4 product = -12

point0 step4 affine value := sum(-12, -8)

point0 step4 affine value = -20

Euclidean division of -20 by 5

-20=-4·5+0

distinct trace=[0, 2, 1, 4]; first repeated state=0

cycle_start=0; starting-point least period=4

start=1

record each state before its first successor calculation

point1 step1 product := mul(-3, 1)

point1 step1 product = -3

point1 step1 affine value := sum(-3, -8)

point1 step1 affine value = -11

Euclidean division of -11 by 5

-11=-3·5+4

point1 step2 product := mul(-3, 4)

point1 step2 product = -12

point1 step2 affine value := sum(-12, -8)

point1 step2 affine value = -20

Euclidean division of -20 by 5

-20=-4·5+0

point1 step3 product := mul(-3, 0)

point1 step3 product = 0

point1 step3 affine value := sum(0, -8)

point1 step3 affine value = -8

Euclidean division of -8 by 5

-8=-2·5+2

point1 step4 product := mul(-3, 2)

point1 step4 product = -6

point1 step4 affine value := sum(-6, -8)

point1 step4 affine value = -14

Euclidean division of -14 by 5

-14=-3·5+1

distinct trace=[1, 4, 0, 2]; first repeated state=1

cycle_start=0; starting-point least period=4

start=2

record each state before its first successor calculation

point2 step1 product := mul(-3, 2)

point2 step1 product = -6

point2 step1 affine value := sum(-6, -8)

point2 step1 affine value = -14

Euclidean division of -14 by 5

-14=-3·5+1

point2 step2 product := mul(-3, 1)

point2 step2 product = -3

point2 step2 affine value := sum(-3, -8)

point2 step2 affine value = -11

Euclidean division of -11 by 5

-11=-3·5+4

point2 step3 product := mul(-3, 4)

point2 step3 product = -12

point2 step3 affine value := sum(-12, -8)

point2 step3 affine value = -20

Euclidean division of -20 by 5

-20=-4·5+0

point2 step4 product := mul(-3, 0)

point2 step4 product = 0

point2 step4 affine value := sum(0, -8)

point2 step4 affine value = -8

Euclidean division of -8 by 5

-8=-2·5+2

distinct trace=[2, 1, 4, 0]; first repeated state=2

cycle_start=0; starting-point least period=4

start=3

record each state before its first successor calculation

point3 step1 product := mul(-3, 3)

point3 step1 product = -9

point3 step1 affine value := sum(-9, -8)

point3 step1 affine value = -17

Euclidean division of -17 by 5

-17=-4·5+3

distinct trace=[3]; first repeated state=3

cycle_start=0; starting-point least period=1

start=4

record each state before its first successor calculation

point4 step1 product := mul(-3, 4)

point4 step1 product = -12

point4 step1 affine value := sum(-12, -8)

point4 step1 affine value = -20

Euclidean division of -20 by 5

-20=-4·5+0

point4 step2 product := mul(-3, 0)

point4 step2 product = 0

point4 step2 affine value := sum(0, -8)

point4 step2 affine value = -8

Euclidean division of -8 by 5

-8=-2·5+2

point4 step3 product := mul(-3, 2)

point4 step3 product = -6

point4 step3 affine value := sum(-6, -8)

point4 step3 affine value = -14

Euclidean division of -14 by 5

-14=-3·5+1

point4 step4 product := mul(-3, 1)

point4 step4 product = -3

point4 step4 affine value := sum(-3, -8)

point4 step4 affine value = -11

Euclidean division of -11 by 5

-11=-3·5+4

distinct trace=[4, 0, 2, 1]; first repeated state=4

cycle_start=0; starting-point least period=4

[[0, 4], [1, 4], [2, 4], [3, 1], [4, 4]]

least positive period≤1: [3]

逐步反向核對

• S063 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S062 · premise_and_result_audit — 依固定自映射重播循環；只對這個完整有限模型推出回返或不回返，不延伸到未給定的系統。
• S061 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S060 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point4 step4 affine value，不以小數近似替代。
• S059 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point4 step4 product，不以小數近似替代。
• S058 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point4 step3 affine value，不以小數近似替代。
• S056 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point4 step3 product，不以小數近似替代。
• S055 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S054 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point4 step2 affine value，不以小數近似替代。
• S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point4 step2 product，不以小數近似替代。
• S052 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point4 step1 affine value，不以小數近似替代。
• S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point4 step1 product，不以小數近似替代。
• S049 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S048 · premise_and_result_audit — 依固定自映射重播循環；只對這個完整有限模型推出回返或不回返，不延伸到未給定的系統。
• S047 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point3 step1 affine value，不以小數近似替代。
• S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point3 step1 product，不以小數近似替代。
• S044 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S043 · premise_and_result_audit — 依固定自映射重播循環；只對這個完整有限模型推出回返或不回返，不延伸到未給定的系統。
• S042 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point2 step4 affine value，不以小數近似替代。
• S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point2 step4 product，不以小數近似替代。
• S039 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point2 step3 affine value，不以小數近似替代。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point2 step3 product，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point2 step2 affine value，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point2 step2 product，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point2 step1 affine value，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point2 step1 product，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S029 · premise_and_result_audit — 依固定自映射重播循環；只對這個完整有限模型推出回返或不回返，不延伸到未給定的系統。
• S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point1 step4 affine value，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point1 step4 product，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point1 step3 affine value，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point1 step3 product，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point1 step2 affine value，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point1 step2 product，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point1 step1 affine value，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point1 step1 product，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S015 · premise_and_result_audit — 依固定自映射重播循環；只對這個完整有限模型推出回返或不回返，不延伸到未給定的系統。
• S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point0 step4 affine value，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point0 step4 product，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point0 step3 affine value，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point0 step3 product，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point0 step2 affine value，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point0 step2 product，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point0 step1 affine value，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point0 step1 product，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(5, -3, -8, 1, [[0, 4], [1, 4], [2, 4], [3, 1], [4, 4]], [3])

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。