第 2566 題：有限軌道與週期

原題與已知條件

完整有限狀態自映射。操作=orbit-periodic-inventory；資料={"modulus":8,"a":-2,"b":7,"period_bound":4}。請依 [modulus,a,b,period_bound,point_period_rows,selected_points] 欄序回答。

• G001 — 完整有限狀態自映射。操作=orbit-periodic-inventory；資料={"modulus":8,"a":-2,"b":7,"period_bound":4}。請依 [modulus,a,b,period_bound,point_period_rows,selected_points] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-orbit-fixed-periodic

逐步推導

n=8; a=-2; b=7

S={0,...,7}; T(z)=(a·z+b) mod n

start=0

record each state before its first successor calculation

point0 step1 product := mul(-2, 0)

point0 step1 product = 0

point0 step1 affine value := sum(0, 7)

point0 step1 affine value = 7

Euclidean division of 7 by 8

7=0·8+7

point0 step2 product := mul(-2, 7)

point0 step2 product = -14

point0 step2 affine value := sum(-14, 7)

point0 step2 affine value = -7

Euclidean division of -7 by 8

-7=-1·8+1

point0 step3 product := mul(-2, 1)

point0 step3 product = -2

point0 step3 affine value := sum(-2, 7)

point0 step3 affine value = 5

Euclidean division of 5 by 8

5=0·8+5

point0 step4 product := mul(-2, 5)

point0 step4 product = -10

point0 step4 affine value := sum(-10, 7)

point0 step4 affine value = -3

Euclidean division of -3 by 8

-3=-1·8+5

distinct trace=[0, 7, 1, 5]; first repeated state=5

cycle_start=3; starting-point least period=null

start=1

record each state before its first successor calculation

point1 step1 product := mul(-2, 1)

point1 step1 product = -2

point1 step1 affine value := sum(-2, 7)

point1 step1 affine value = 5

Euclidean division of 5 by 8

5=0·8+5

point1 step2 product := mul(-2, 5)

point1 step2 product = -10

point1 step2 affine value := sum(-10, 7)

point1 step2 affine value = -3

Euclidean division of -3 by 8

-3=-1·8+5

distinct trace=[1, 5]; first repeated state=5

cycle_start=1; starting-point least period=null

start=2

record each state before its first successor calculation

point2 step1 product := mul(-2, 2)

point2 step1 product = -4

point2 step1 affine value := sum(-4, 7)

point2 step1 affine value = 3

Euclidean division of 3 by 8

3=0·8+3

point2 step2 product := mul(-2, 3)

point2 step2 product = -6

point2 step2 affine value := sum(-6, 7)

point2 step2 affine value = 1

Euclidean division of 1 by 8

1=0·8+1

point2 step3 product := mul(-2, 1)

point2 step3 product = -2

point2 step3 affine value := sum(-2, 7)

point2 step3 affine value = 5

Euclidean division of 5 by 8

5=0·8+5

point2 step4 product := mul(-2, 5)

point2 step4 product = -10

point2 step4 affine value := sum(-10, 7)

point2 step4 affine value = -3

Euclidean division of -3 by 8

-3=-1·8+5

distinct trace=[2, 3, 1, 5]; first repeated state=5

cycle_start=3; starting-point least period=null

start=3

record each state before its first successor calculation

point3 step1 product := mul(-2, 3)

point3 step1 product = -6

point3 step1 affine value := sum(-6, 7)

point3 step1 affine value = 1

Euclidean division of 1 by 8

1=0·8+1

point3 step2 product := mul(-2, 1)

point3 step2 product = -2

point3 step2 affine value := sum(-2, 7)

point3 step2 affine value = 5

Euclidean division of 5 by 8

5=0·8+5

point3 step3 product := mul(-2, 5)

point3 step3 product = -10

point3 step3 affine value := sum(-10, 7)

point3 step3 affine value = -3

Euclidean division of -3 by 8

-3=-1·8+5

distinct trace=[3, 1, 5]; first repeated state=5

cycle_start=2; starting-point least period=null

start=4

record each state before its first successor calculation

point4 step1 product := mul(-2, 4)

point4 step1 product = -8

point4 step1 affine value := sum(-8, 7)

point4 step1 affine value = -1

Euclidean division of -1 by 8

-1=-1·8+7

point4 step2 product := mul(-2, 7)

point4 step2 product = -14

point4 step2 affine value := sum(-14, 7)

point4 step2 affine value = -7

Euclidean division of -7 by 8

-7=-1·8+1

point4 step3 product := mul(-2, 1)

point4 step3 product = -2

point4 step3 affine value := sum(-2, 7)

point4 step3 affine value = 5

Euclidean division of 5 by 8

5=0·8+5

point4 step4 product := mul(-2, 5)

point4 step4 product = -10

point4 step4 affine value := sum(-10, 7)

point4 step4 affine value = -3

Euclidean division of -3 by 8

-3=-1·8+5

distinct trace=[4, 7, 1, 5]; first repeated state=5

cycle_start=3; starting-point least period=null

start=5

record each state before its first successor calculation

point5 step1 product := mul(-2, 5)

point5 step1 product = -10

point5 step1 affine value := sum(-10, 7)

point5 step1 affine value = -3

Euclidean division of -3 by 8

-3=-1·8+5

distinct trace=[5]; first repeated state=5

cycle_start=0; starting-point least period=1

start=6

record each state before its first successor calculation

point6 step1 product := mul(-2, 6)

point6 step1 product = -12

point6 step1 affine value := sum(-12, 7)

point6 step1 affine value = -5

Euclidean division of -5 by 8

-5=-1·8+3

point6 step2 product := mul(-2, 3)

point6 step2 product = -6

point6 step2 affine value := sum(-6, 7)

point6 step2 affine value = 1

Euclidean division of 1 by 8

1=0·8+1

point6 step3 product := mul(-2, 1)

point6 step3 product = -2

point6 step3 affine value := sum(-2, 7)

point6 step3 affine value = 5

Euclidean division of 5 by 8

5=0·8+5

point6 step4 product := mul(-2, 5)

point6 step4 product = -10

point6 step4 affine value := sum(-10, 7)

point6 step4 affine value = -3

Euclidean division of -3 by 8

-3=-1·8+5

distinct trace=[6, 3, 1, 5]; first repeated state=5

cycle_start=3; starting-point least period=null

start=7

record each state before its first successor calculation

point7 step1 product := mul(-2, 7)

point7 step1 product = -14

point7 step1 affine value := sum(-14, 7)

point7 step1 affine value = -7

Euclidean division of -7 by 8

-7=-1·8+1

point7 step2 product := mul(-2, 1)

point7 step2 product = -2

point7 step2 affine value := sum(-2, 7)

point7 step2 affine value = 5

Euclidean division of 5 by 8

5=0·8+5

point7 step3 product := mul(-2, 5)

point7 step3 product = -10

point7 step3 affine value := sum(-10, 7)

point7 step3 affine value = -3

Euclidean division of -3 by 8

-3=-1·8+5

distinct trace=[7, 1, 5]; first repeated state=5

cycle_start=2; starting-point least period=null

[[0, 非週期點], [1, 非週期點], [2, 非週期點], [3, 非週期點], [4, 非週期點], [5, 1], [6, 非週期點], [7, 非週期點]]

least positive period≤4: [5]

逐步反向核對

• S093 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S092 · premise_and_result_audit — 依固定自映射重播循環；只對這個完整有限模型推出回返或不回返，不延伸到未給定的系統。
• S091 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S090 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point7 step3 affine value，不以小數近似替代。
• S089 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point7 step3 product，不以小數近似替代。
• S088 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S087 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point7 step2 affine value，不以小數近似替代。
• S086 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point7 step2 product，不以小數近似替代。
• S085 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S084 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point7 step1 affine value，不以小數近似替代。
• S083 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point7 step1 product，不以小數近似替代。
• S082 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S081 · premise_and_result_audit — 依固定自映射重播循環；只對這個完整有限模型推出回返或不回返，不延伸到未給定的系統。
• S080 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S079 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point6 step4 affine value，不以小數近似替代。
• S078 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point6 step4 product，不以小數近似替代。
• S077 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S076 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point6 step3 affine value，不以小數近似替代。
• S075 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point6 step3 product，不以小數近似替代。
• S074 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S073 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point6 step2 affine value，不以小數近似替代。
• S072 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point6 step2 product，不以小數近似替代。
• S071 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S070 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point6 step1 affine value，不以小數近似替代。
• S069 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point6 step1 product，不以小數近似替代。
• S068 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S067 · premise_and_result_audit — 依固定自映射重播循環；只對這個完整有限模型推出回返或不回返，不延伸到未給定的系統。
• S066 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S065 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point5 step1 affine value，不以小數近似替代。
• S064 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point5 step1 product，不以小數近似替代。
• S063 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S062 · premise_and_result_audit — 依固定自映射重播循環；只對這個完整有限模型推出回返或不回返，不延伸到未給定的系統。
• S061 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S060 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point4 step4 affine value，不以小數近似替代。
• S059 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point4 step4 product，不以小數近似替代。
• S058 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point4 step3 affine value，不以小數近似替代。
• S056 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point4 step3 product，不以小數近似替代。
• S055 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S054 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point4 step2 affine value，不以小數近似替代。
• S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point4 step2 product，不以小數近似替代。
• S052 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point4 step1 affine value，不以小數近似替代。
• S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point4 step1 product，不以小數近似替代。
• S049 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S048 · premise_and_result_audit — 依固定自映射重播循環；只對這個完整有限模型推出回返或不回返，不延伸到未給定的系統。
• S047 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point3 step3 affine value，不以小數近似替代。
• S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point3 step3 product，不以小數近似替代。
• S044 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point3 step2 affine value，不以小數近似替代。
• S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point3 step2 product，不以小數近似替代。
• S041 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point3 step1 affine value，不以小數近似替代。
• S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point3 step1 product，不以小數近似替代。
• S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S037 · premise_and_result_audit — 依固定自映射重播循環；只對這個完整有限模型推出回返或不回返，不延伸到未給定的系統。
• S036 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point2 step4 affine value，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point2 step4 product，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point2 step3 affine value，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point2 step3 product，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point2 step2 affine value，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point2 step2 product，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point2 step1 affine value，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point2 step1 product，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S023 · premise_and_result_audit — 依固定自映射重播循環；只對這個完整有限模型推出回返或不回返，不延伸到未給定的系統。
• S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point1 step2 affine value，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point1 step2 product，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point1 step1 affine value，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point1 step1 product，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S015 · premise_and_result_audit — 依固定自映射重播循環；只對這個完整有限模型推出回返或不回返，不延伸到未給定的系統。
• S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point0 step4 affine value，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point0 step4 product，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point0 step3 affine value，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point0 step3 product，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point0 step2 affine value，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point0 step2 product，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point0 step1 affine value，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point0 step1 product，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(8, -2, 7, 4, [[0, 非週期點], [1, 非週期點], [2, 非週期點], [3, 非週期點], [4, 非週期點], [5, 1], [6, 非週期點], [7, 非週期點]], [5])

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。