第 2571 題：有限軌道與週期

原題與已知條件

完整有限狀態自映射。操作=orbit-periodic-inventory；資料={"modulus":7,"a":3,"b":12,"period_bound":3}。請依 [modulus,a,b,period_bound,point_period_rows,selected_points] 欄序回答。

• G001 — 完整有限狀態自映射。操作=orbit-periodic-inventory；資料={"modulus":7,"a":3,"b":12,"period_bound":3}。請依 [modulus,a,b,period_bound,point_period_rows,selected_points] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-orbit-fixed-periodic

逐步推導

n=7; a=3; b=12

S={0,...,6}; T(z)=(a·z+b) mod n

start=0

record each state before its first successor calculation

point0 step1 product := mul(3, 0)

point0 step1 product = 0

point0 step1 affine value := sum(0, 12)

point0 step1 affine value = 12

Euclidean division of 12 by 7

12=1·7+5

point0 step2 product := mul(3, 5)

point0 step2 product = 15

point0 step2 affine value := sum(15, 12)

point0 step2 affine value = 27

Euclidean division of 27 by 7

27=3·7+6

point0 step3 product := mul(3, 6)

point0 step3 product = 18

point0 step3 affine value := sum(18, 12)

point0 step3 affine value = 30

Euclidean division of 30 by 7

30=4·7+2

point0 step4 product := mul(3, 2)

point0 step4 product = 6

point0 step4 affine value := sum(6, 12)

point0 step4 affine value = 18

Euclidean division of 18 by 7

18=2·7+4

point0 step5 product := mul(3, 4)

point0 step5 product = 12

point0 step5 affine value := sum(12, 12)

point0 step5 affine value = 24

Euclidean division of 24 by 7

24=3·7+3

point0 step6 product := mul(3, 3)

point0 step6 product = 9

point0 step6 affine value := sum(9, 12)

point0 step6 affine value = 21

Euclidean division of 21 by 7

21=3·7+0

distinct trace=[0, 5, 6, 2, 4, 3]; first repeated state=0

cycle_start=0; starting-point least period=6

start=1

record each state before its first successor calculation

point1 step1 product := mul(3, 1)

point1 step1 product = 3

point1 step1 affine value := sum(3, 12)

point1 step1 affine value = 15

Euclidean division of 15 by 7

15=2·7+1

distinct trace=[1]; first repeated state=1

cycle_start=0; starting-point least period=1

start=2

record each state before its first successor calculation

point2 step1 product := mul(3, 2)

point2 step1 product = 6

point2 step1 affine value := sum(6, 12)

point2 step1 affine value = 18

Euclidean division of 18 by 7

18=2·7+4

point2 step2 product := mul(3, 4)

point2 step2 product = 12

point2 step2 affine value := sum(12, 12)

point2 step2 affine value = 24

Euclidean division of 24 by 7

24=3·7+3

point2 step3 product := mul(3, 3)

point2 step3 product = 9

point2 step3 affine value := sum(9, 12)

point2 step3 affine value = 21

Euclidean division of 21 by 7

21=3·7+0

point2 step4 product := mul(3, 0)

point2 step4 product = 0

point2 step4 affine value := sum(0, 12)

point2 step4 affine value = 12

Euclidean division of 12 by 7

12=1·7+5

point2 step5 product := mul(3, 5)

point2 step5 product = 15

point2 step5 affine value := sum(15, 12)

point2 step5 affine value = 27

Euclidean division of 27 by 7

27=3·7+6

point2 step6 product := mul(3, 6)

point2 step6 product = 18

point2 step6 affine value := sum(18, 12)

point2 step6 affine value = 30

Euclidean division of 30 by 7

30=4·7+2

distinct trace=[2, 4, 3, 0, 5, 6]; first repeated state=2

cycle_start=0; starting-point least period=6

start=3

record each state before its first successor calculation

point3 step1 product := mul(3, 3)

point3 step1 product = 9

point3 step1 affine value := sum(9, 12)

point3 step1 affine value = 21

Euclidean division of 21 by 7

21=3·7+0

point3 step2 product := mul(3, 0)

point3 step2 product = 0

point3 step2 affine value := sum(0, 12)

point3 step2 affine value = 12

Euclidean division of 12 by 7

12=1·7+5

point3 step3 product := mul(3, 5)

point3 step3 product = 15

point3 step3 affine value := sum(15, 12)

point3 step3 affine value = 27

Euclidean division of 27 by 7

27=3·7+6

point3 step4 product := mul(3, 6)

point3 step4 product = 18

point3 step4 affine value := sum(18, 12)

point3 step4 affine value = 30

Euclidean division of 30 by 7

30=4·7+2

point3 step5 product := mul(3, 2)

point3 step5 product = 6

point3 step5 affine value := sum(6, 12)

point3 step5 affine value = 18

Euclidean division of 18 by 7

18=2·7+4

point3 step6 product := mul(3, 4)

point3 step6 product = 12

point3 step6 affine value := sum(12, 12)

point3 step6 affine value = 24

Euclidean division of 24 by 7

24=3·7+3

distinct trace=[3, 0, 5, 6, 2, 4]; first repeated state=3

cycle_start=0; starting-point least period=6

start=4

record each state before its first successor calculation

point4 step1 product := mul(3, 4)

point4 step1 product = 12

point4 step1 affine value := sum(12, 12)

point4 step1 affine value = 24

Euclidean division of 24 by 7

24=3·7+3

point4 step2 product := mul(3, 3)

point4 step2 product = 9

point4 step2 affine value := sum(9, 12)

point4 step2 affine value = 21

Euclidean division of 21 by 7

21=3·7+0

point4 step3 product := mul(3, 0)

point4 step3 product = 0

point4 step3 affine value := sum(0, 12)

point4 step3 affine value = 12

Euclidean division of 12 by 7

12=1·7+5

point4 step4 product := mul(3, 5)

point4 step4 product = 15

point4 step4 affine value := sum(15, 12)

point4 step4 affine value = 27

Euclidean division of 27 by 7

27=3·7+6

point4 step5 product := mul(3, 6)

point4 step5 product = 18

point4 step5 affine value := sum(18, 12)

point4 step5 affine value = 30

Euclidean division of 30 by 7

30=4·7+2

point4 step6 product := mul(3, 2)

point4 step6 product = 6

point4 step6 affine value := sum(6, 12)

point4 step6 affine value = 18

Euclidean division of 18 by 7

18=2·7+4

distinct trace=[4, 3, 0, 5, 6, 2]; first repeated state=4

cycle_start=0; starting-point least period=6

start=5

record each state before its first successor calculation

point5 step1 product := mul(3, 5)

point5 step1 product = 15

point5 step1 affine value := sum(15, 12)

point5 step1 affine value = 27

Euclidean division of 27 by 7

27=3·7+6

point5 step2 product := mul(3, 6)

point5 step2 product = 18

point5 step2 affine value := sum(18, 12)

point5 step2 affine value = 30

Euclidean division of 30 by 7

30=4·7+2

point5 step3 product := mul(3, 2)

point5 step3 product = 6

point5 step3 affine value := sum(6, 12)

point5 step3 affine value = 18

Euclidean division of 18 by 7

18=2·7+4

point5 step4 product := mul(3, 4)

point5 step4 product = 12

point5 step4 affine value := sum(12, 12)

point5 step4 affine value = 24

Euclidean division of 24 by 7

24=3·7+3

point5 step5 product := mul(3, 3)

point5 step5 product = 9

point5 step5 affine value := sum(9, 12)

point5 step5 affine value = 21

Euclidean division of 21 by 7

21=3·7+0

point5 step6 product := mul(3, 0)

point5 step6 product = 0

point5 step6 affine value := sum(0, 12)

point5 step6 affine value = 12

Euclidean division of 12 by 7

12=1·7+5

distinct trace=[5, 6, 2, 4, 3, 0]; first repeated state=5

cycle_start=0; starting-point least period=6

start=6

record each state before its first successor calculation

point6 step1 product := mul(3, 6)

point6 step1 product = 18

point6 step1 affine value := sum(18, 12)

point6 step1 affine value = 30

Euclidean division of 30 by 7

30=4·7+2

point6 step2 product := mul(3, 2)

point6 step2 product = 6

point6 step2 affine value := sum(6, 12)

point6 step2 affine value = 18

Euclidean division of 18 by 7

18=2·7+4

point6 step3 product := mul(3, 4)

point6 step3 product = 12

point6 step3 affine value := sum(12, 12)

point6 step3 affine value = 24

Euclidean division of 24 by 7

24=3·7+3

point6 step4 product := mul(3, 3)

point6 step4 product = 9

point6 step4 affine value := sum(9, 12)

point6 step4 affine value = 21

Euclidean division of 21 by 7

21=3·7+0

point6 step5 product := mul(3, 0)

point6 step5 product = 0

point6 step5 affine value := sum(0, 12)

point6 step5 affine value = 12

Euclidean division of 12 by 7

12=1·7+5

point6 step6 product := mul(3, 5)

point6 step6 product = 15

point6 step6 affine value := sum(15, 12)

point6 step6 affine value = 27

Euclidean division of 27 by 7

27=3·7+6

distinct trace=[6, 2, 4, 3, 0, 5]; first repeated state=6

cycle_start=0; starting-point least period=6

[[0, 6], [1, 1], [2, 6], [3, 6], [4, 6], [5, 6], [6, 6]]

least positive period≤3: [1]

逐步反向核對

• S127 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S126 · premise_and_result_audit — 依固定自映射重播循環；只對這個完整有限模型推出回返或不回返，不延伸到未給定的系統。
• S125 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S124 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point6 step6 affine value，不以小數近似替代。
• S123 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point6 step6 product，不以小數近似替代。
• S122 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S121 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point6 step5 affine value，不以小數近似替代。
• S120 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point6 step5 product，不以小數近似替代。
• S119 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S118 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point6 step4 affine value，不以小數近似替代。
• S117 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point6 step4 product，不以小數近似替代。
• S116 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S115 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point6 step3 affine value，不以小數近似替代。
• S114 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point6 step3 product，不以小數近似替代。
• S113 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S112 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point6 step2 affine value，不以小數近似替代。
• S111 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point6 step2 product，不以小數近似替代。
• S110 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S109 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point6 step1 affine value，不以小數近似替代。
• S108 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point6 step1 product，不以小數近似替代。
• S107 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S106 · premise_and_result_audit — 依固定自映射重播循環；只對這個完整有限模型推出回返或不回返，不延伸到未給定的系統。
• S105 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S104 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point5 step6 affine value，不以小數近似替代。
• S103 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point5 step6 product，不以小數近似替代。
• S102 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S101 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point5 step5 affine value，不以小數近似替代。
• S100 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point5 step5 product，不以小數近似替代。
• S099 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S098 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point5 step4 affine value，不以小數近似替代。
• S097 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point5 step4 product，不以小數近似替代。
• S096 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S095 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point5 step3 affine value，不以小數近似替代。
• S094 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point5 step3 product，不以小數近似替代。
• S093 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S092 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point5 step2 affine value，不以小數近似替代。
• S091 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point5 step2 product，不以小數近似替代。
• S090 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S089 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point5 step1 affine value，不以小數近似替代。
• S088 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point5 step1 product，不以小數近似替代。
• S087 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S086 · premise_and_result_audit — 依固定自映射重播循環；只對這個完整有限模型推出回返或不回返，不延伸到未給定的系統。
• S085 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S084 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point4 step6 affine value，不以小數近似替代。
• S083 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point4 step6 product，不以小數近似替代。
• S082 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S081 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point4 step5 affine value，不以小數近似替代。
• S080 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point4 step5 product，不以小數近似替代。
• S079 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S078 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point4 step4 affine value，不以小數近似替代。
• S077 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point4 step4 product，不以小數近似替代。
• S076 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S075 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point4 step3 affine value，不以小數近似替代。
• S074 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point4 step3 product，不以小數近似替代。
• S073 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S072 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point4 step2 affine value，不以小數近似替代。
• S071 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point4 step2 product，不以小數近似替代。
• S070 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S069 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point4 step1 affine value，不以小數近似替代。
• S068 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point4 step1 product，不以小數近似替代。
• S067 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S066 · premise_and_result_audit — 依固定自映射重播循環；只對這個完整有限模型推出回返或不回返，不延伸到未給定的系統。
• S065 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S064 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point3 step6 affine value，不以小數近似替代。
• S063 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point3 step6 product，不以小數近似替代。
• S062 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S061 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point3 step5 affine value，不以小數近似替代。
• S060 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point3 step5 product，不以小數近似替代。
• S059 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S058 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point3 step4 affine value，不以小數近似替代。
• S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point3 step4 product，不以小數近似替代。
• S056 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point3 step3 affine value，不以小數近似替代。
• S054 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point3 step3 product，不以小數近似替代。
• S053 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S052 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point3 step2 affine value，不以小數近似替代。
• S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point3 step2 product，不以小數近似替代。
• S050 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point3 step1 affine value，不以小數近似替代。
• S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point3 step1 product，不以小數近似替代。
• S047 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S046 · premise_and_result_audit — 依固定自映射重播循環；只對這個完整有限模型推出回返或不回返，不延伸到未給定的系統。
• S045 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point2 step6 affine value，不以小數近似替代。
• S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point2 step6 product，不以小數近似替代。
• S042 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point2 step5 affine value，不以小數近似替代。
• S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point2 step5 product，不以小數近似替代。
• S039 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point2 step4 affine value，不以小數近似替代。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point2 step4 product，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point2 step3 affine value，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point2 step3 product，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point2 step2 affine value，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point2 step2 product，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point2 step1 affine value，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point2 step1 product，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S026 · premise_and_result_audit — 依固定自映射重播循環；只對這個完整有限模型推出回返或不回返，不延伸到未給定的系統。
• S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point1 step1 affine value，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point1 step1 product，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S021 · premise_and_result_audit — 依固定自映射重播循環；只對這個完整有限模型推出回返或不回返，不延伸到未給定的系統。
• S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point0 step6 affine value，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point0 step6 product，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point0 step5 affine value，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point0 step5 product，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point0 step4 affine value，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point0 step4 product，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point0 step3 affine value，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point0 step3 product，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point0 step2 affine value，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point0 step2 product，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point0 step1 affine value，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point0 step1 product，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(7, 3, 12, 3, [[0, 6], [1, 1], [2, 6], [3, 6], [4, 6], [5, 6], [6, 6]], [1])

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。