第 2208 題：多項式初值候選

原題與已知條件

整係數多項式候選與明示有限網格。操作=ivp-first-order-candidate-grid；資料={"coefficients":[-5,-3],"p":0,"q":-3,"xs":[-1,0,1],"x0":0,"y0":-5}。請依 [coefficients,p,q,xs,residual_rows,x0,y_x0,expected_y,initial_match,finite_grid_and_initial_match] 欄序回答。

• G001 — 整係數多項式候選與明示有限網格。操作=ivp-first-order-candidate-grid；資料={"coefficients":[-5,-3],"p":0,"q":-3,"xs":[-1,0,1],"x0":0,"y0":-5}。請依 [coefficients,p,q,xs,residual_rows,x0,y_x0,expected_y,initial_match,finite_grid_and_initial_match] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-initial-value-problem

逐步推導

candidate polynomial ascending coefficients=[-5, -3]

initial point=0; required y₀=-5

y′ coefficient at degree0 := mul(1, -3)

y′ coefficient at degree0 = -3

initial y ascending coefficients=[-5, -3]

evaluate at x=0

initial y Horner multiply before degree0 := mul(-3, 0)

initial y Horner multiply before degree0 = 0

initial y Horner add degree0 := sum(0, -5)

initial y Horner add degree0 = -5

y(0)=-5; required=-5

value condition=是

[-1, 0, 1]

distinct ordered audit grid=[-1, 0, 1]

y at-1 ascending coefficients=[-5, -3]

evaluate at x=-1

y at-1 Horner multiply before degree0 := mul(-3, -1)

y at-1 Horner multiply before degree0 = 3

y at-1 Horner add degree0 := sum(3, -5)

y at-1 Horner add degree0 = -2

y′ at-1 ascending coefficients=[-3]

evaluate at x=-1

p·y at-1 := mul(0, -2)

p·y at-1 = 0

y′−p·y at-1 := sub(-3, 0)

y′−p·y at-1 = -3

residual at-1 := sub(-3, -3)

residual at-1 = 0

residual at-1=0

point equation match=是

y at0 ascending coefficients=[-5, -3]

evaluate at x=0

y at0 Horner multiply before degree0 := mul(-3, 0)

y at0 Horner multiply before degree0 = 0

y at0 Horner add degree0 := sum(0, -5)

y at0 Horner add degree0 = -5

y′ at0 ascending coefficients=[-3]

evaluate at x=0

p·y at0 := mul(0, -5)

p·y at0 = 0

y′−p·y at0 := sub(-3, 0)

y′−p·y at0 = -3

residual at0 := sub(-3, -3)

residual at0 = 0

residual at0=0

point equation match=是

y at1 ascending coefficients=[-5, -3]

evaluate at x=1

y at1 Horner multiply before degree0 := mul(-3, 1)

y at1 Horner multiply before degree0 = -3

y at1 Horner add degree0 := sum(-3, -5)

y at1 Horner add degree0 = -8

y′ at1 ascending coefficients=[-3]

evaluate at x=1

p·y at1 := mul(0, -8)

p·y at1 = 0

y′−p·y at1 := sub(-3, 0)

y′−p·y at1 = -3

residual at1 := sub(-3, -3)

residual at1 = 0

residual at1=0

point equation match=是

all listed grid points pass=是; initial conditions pass=是

combined finite check=是

finite grid agreement alone is not a general interval certificate

a polynomial coefficient/degree certificate is a separate possible strengthening

逐步反向核對

• S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S031 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 residual at1，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y′−p·y at1，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 p·y at1，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y at1 Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y at1 Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 residual at0，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y′−p·y at0，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 p·y at0，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y at0 Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y at0 Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 residual at-1，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y′−p·y at-1，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 p·y at-1，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y at-1 Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y at-1 Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 initial y Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 initial y Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y′ coefficient at degree0，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([-5, -3], 0, -3, [-1, 0, 1], [[-1, -2, -3, 0, 是], [0, -5, -3, 0, 是], [1, -8, -3, 0, 是]], 0, -5, -5, 是, 是)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。