第 2217 題：多項式初值候選

原題與已知條件

整係數多項式候選與明示有限網格。操作=ivp-first-order-candidate-grid；資料={"coefficients":[4,-1],"p":0,"q":0,"xs":[-1,0,1],"x0":-1,"y0":5}。請依 [coefficients,p,q,xs,residual_rows,x0,y_x0,expected_y,initial_match,finite_grid_and_initial_match] 欄序回答。

• G001 — 整係數多項式候選與明示有限網格。操作=ivp-first-order-candidate-grid；資料={"coefficients":[4,-1],"p":0,"q":0,"xs":[-1,0,1],"x0":-1,"y0":5}。請依 [coefficients,p,q,xs,residual_rows,x0,y_x0,expected_y,initial_match,finite_grid_and_initial_match] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-initial-value-problem

逐步推導

candidate polynomial ascending coefficients=[4, -1]

initial point=-1; required y₀=5

y′ coefficient at degree0 := mul(1, -1)

y′ coefficient at degree0 = -1

initial y ascending coefficients=[4, -1]

evaluate at x=-1

initial y Horner multiply before degree0 := mul(-1, -1)

initial y Horner multiply before degree0 = 1

initial y Horner add degree0 := sum(1, 4)

initial y Horner add degree0 = 5

y(-1)=5; required=5

value condition=是

[-1, 0, 1]

distinct ordered audit grid=[-1, 0, 1]

y at-1 ascending coefficients=[4, -1]

evaluate at x=-1

y at-1 Horner multiply before degree0 := mul(-1, -1)

y at-1 Horner multiply before degree0 = 1

y at-1 Horner add degree0 := sum(1, 4)

y at-1 Horner add degree0 = 5

y′ at-1 ascending coefficients=[-1]

evaluate at x=-1

p·y at-1 := mul(0, 5)

p·y at-1 = 0

y′−p·y at-1 := sub(-1, 0)

y′−p·y at-1 = -1

residual at-1 := sub(-1, 0)

residual at-1 = -1

residual at-1=-1

point equation match=否

y at0 ascending coefficients=[4, -1]

evaluate at x=0

y at0 Horner multiply before degree0 := mul(-1, 0)

y at0 Horner multiply before degree0 = 0

y at0 Horner add degree0 := sum(0, 4)

y at0 Horner add degree0 = 4

y′ at0 ascending coefficients=[-1]

evaluate at x=0

p·y at0 := mul(0, 4)

p·y at0 = 0

y′−p·y at0 := sub(-1, 0)

y′−p·y at0 = -1

residual at0 := sub(-1, 0)

residual at0 = -1

residual at0=-1

point equation match=否

y at1 ascending coefficients=[4, -1]

evaluate at x=1

y at1 Horner multiply before degree0 := mul(-1, 1)

y at1 Horner multiply before degree0 = -1

y at1 Horner add degree0 := sum(-1, 4)

y at1 Horner add degree0 = 3

y′ at1 ascending coefficients=[-1]

evaluate at x=1

p·y at1 := mul(0, 3)

p·y at1 = 0

y′−p·y at1 := sub(-1, 0)

y′−p·y at1 = -1

residual at1 := sub(-1, 0)

residual at1 = -1

residual at1=-1

point equation match=否

all listed grid points pass=否; initial conditions pass=是

combined finite check=否

finite grid agreement alone is not a general interval certificate

a polynomial coefficient/degree certificate is a separate possible strengthening

逐步反向核對

• S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S031 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 residual at1，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y′−p·y at1，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 p·y at1，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y at1 Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y at1 Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 residual at0，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y′−p·y at0，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 p·y at0，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y at0 Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y at0 Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 residual at-1，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y′−p·y at-1，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 p·y at-1，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y at-1 Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y at-1 Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 initial y Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 initial y Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y′ coefficient at degree0，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([4, -1], 0, 0, [-1, 0, 1], [[-1, 5, -1, -1, 否], [0, 4, -1, -1, 否], [1, 3, -1, -1, 否]], -1, 5, 5, 是, 否)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。