第 2259 題：多項式初值候選

原題與已知條件

整係數多項式候選與明示有限網格。操作=ivp-second-order-candidate-grid；資料={"coefficients":[-4,-2,1],"a":1,"b":0,"c":0,"rhs":3,"xs":[-1,0,1],"x0":1,"y0":-5,"dy0":0}。請依 [coefficients,a,b,c,rhs,xs,residual_rows,x0,y_x0,y_prime_x0,expected_y,expected_y_prime,y_match,y_prime_match,finite_grid_and_initial_match] 欄序回答。

• G001 — 整係數多項式候選與明示有限網格。操作=ivp-second-order-candidate-grid；資料={"coefficients":[-4,-2,1],"a":1,"b":0,"c":0,"rhs":3,"xs":[-1,0,1],"x0":1,"y0":-5,"dy0":0}。請依 [coefficients,a,b,c,rhs,xs,residual_rows,x0,y_x0,y_prime_x0,expected_y,expected_y_prime,y_match,y_prime_match,finite_grid_and_initial_match] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-initial-value-problem

逐步推導

candidate polynomial ascending coefficients=[-4, -2, 1]

initial point=1; required y₀=-5

y′ coefficient at degree0 := mul(1, -2)

y′ coefficient at degree0 = -2

y′ coefficient at degree1 := mul(2, 1)

y′ coefficient at degree1 = 2

y″ coefficient at degree0 := mul(1, 2)

y″ coefficient at degree0 = 2

initial y ascending coefficients=[-4, -2, 1]

evaluate at x=1

initial y Horner multiply before degree1 := mul(1, 1)

initial y Horner multiply before degree1 = 1

initial y Horner add degree1 := sum(1, -2)

initial y Horner add degree1 = -1

initial y Horner multiply before degree0 := mul(-1, 1)

initial y Horner multiply before degree0 = -1

initial y Horner add degree0 := sum(-1, -4)

initial y Horner add degree0 = -5

initial y′ ascending coefficients=[-2, 2]

evaluate at x=1

initial y′ Horner multiply before degree0 := mul(2, 1)

initial y′ Horner multiply before degree0 = 2

initial y′ Horner add degree0 := sum(2, -2)

initial y′ Horner add degree0 = 0

y(1)=-5; required=-5

value condition=是

y′(1)=0; required=0

derivative condition=是

[-1, 0, 1]

distinct ordered audit grid=[-1, 0, 1]

y at-1 ascending coefficients=[-4, -2, 1]

evaluate at x=-1

y at-1 Horner multiply before degree1 := mul(1, -1)

y at-1 Horner multiply before degree1 = -1

y at-1 Horner add degree1 := sum(-1, -2)

y at-1 Horner add degree1 = -3

y at-1 Horner multiply before degree0 := mul(-3, -1)

y at-1 Horner multiply before degree0 = 3

y at-1 Horner add degree0 := sum(3, -4)

y at-1 Horner add degree0 = -1

y′ at-1 ascending coefficients=[-2, 2]

evaluate at x=-1

y′ at-1 Horner multiply before degree0 := mul(2, -1)

y′ at-1 Horner multiply before degree0 = -2

y′ at-1 Horner add degree0 := sum(-2, -2)

y′ at-1 Horner add degree0 = -4

y″ at-1 ascending coefficients=[2]

evaluate at x=-1

a·y″ at-1 := mul(1, 2)

a·y″ at-1 = 2

b·y′ at-1 := mul(0, -4)

b·y′ at-1 = 0

c·y at-1 := mul(0, -1)

c·y at-1 = 0

left side at-1 := sum(2, 0, 0)

left side at-1 = 2

residual at-1 := sub(2, 3)

residual at-1 = -1

residual at-1=-1

point equation match=否

y at0 ascending coefficients=[-4, -2, 1]

evaluate at x=0

y at0 Horner multiply before degree1 := mul(1, 0)

y at0 Horner multiply before degree1 = 0

y at0 Horner add degree1 := sum(0, -2)

y at0 Horner add degree1 = -2

y at0 Horner multiply before degree0 := mul(-2, 0)

y at0 Horner multiply before degree0 = 0

y at0 Horner add degree0 := sum(0, -4)

y at0 Horner add degree0 = -4

y′ at0 ascending coefficients=[-2, 2]

evaluate at x=0

y′ at0 Horner multiply before degree0 := mul(2, 0)

y′ at0 Horner multiply before degree0 = 0

y′ at0 Horner add degree0 := sum(0, -2)

y′ at0 Horner add degree0 = -2

y″ at0 ascending coefficients=[2]

evaluate at x=0

a·y″ at0 := mul(1, 2)

a·y″ at0 = 2

b·y′ at0 := mul(0, -2)

b·y′ at0 = 0

c·y at0 := mul(0, -4)

c·y at0 = 0

left side at0 := sum(2, 0, 0)

left side at0 = 2

residual at0 := sub(2, 3)

residual at0 = -1

residual at0=-1

point equation match=否

y at1 ascending coefficients=[-4, -2, 1]

evaluate at x=1

y at1 Horner multiply before degree1 := mul(1, 1)

y at1 Horner multiply before degree1 = 1

y at1 Horner add degree1 := sum(1, -2)

y at1 Horner add degree1 = -1

y at1 Horner multiply before degree0 := mul(-1, 1)

y at1 Horner multiply before degree0 = -1

y at1 Horner add degree0 := sum(-1, -4)

y at1 Horner add degree0 = -5

y′ at1 ascending coefficients=[-2, 2]

evaluate at x=1

y′ at1 Horner multiply before degree0 := mul(2, 1)

y′ at1 Horner multiply before degree0 = 2

y′ at1 Horner add degree0 := sum(2, -2)

y′ at1 Horner add degree0 = 0

y″ at1 ascending coefficients=[2]

evaluate at x=1

a·y″ at1 := mul(1, 2)

a·y″ at1 = 2

b·y′ at1 := mul(0, 0)

b·y′ at1 = 0

c·y at1 := mul(0, -5)

c·y at1 = 0

left side at1 := sum(2, 0, 0)

left side at1 = 2

residual at1 := sub(2, 3)

residual at1 = -1

residual at1=-1

point equation match=否

all listed grid points pass=否; initial conditions pass=是

combined finite check=否

finite grid agreement alone is not a general interval certificate

a polynomial coefficient/degree certificate is a separate possible strengthening

逐步反向核對

• S062 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S061 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S060 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S059 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 residual at1，不以小數近似替代。
• S058 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left side at1，不以小數近似替代。
• S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 c·y at1，不以小數近似替代。
• S056 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 b·y′ at1，不以小數近似替代。
• S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 a·y″ at1，不以小數近似替代。
• S054 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y′ at1 Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S052 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y′ at1 Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S051 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y at1 Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y at1 Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y at1 Horner add degree1，不以小數近似替代。
• S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y at1 Horner multiply before degree1，不以小數近似替代。
• S046 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S045 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 residual at0，不以小數近似替代。
• S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left side at0，不以小數近似替代。
• S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 c·y at0，不以小數近似替代。
• S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 b·y′ at0，不以小數近似替代。
• S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 a·y″ at0，不以小數近似替代。
• S039 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y′ at0 Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y′ at0 Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y at0 Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y at0 Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y at0 Horner add degree1，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y at0 Horner multiply before degree1，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 residual at-1，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left side at-1，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 c·y at-1，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 b·y′ at-1，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 a·y″ at-1，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y′ at-1 Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y′ at-1 Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y at-1 Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y at-1 Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y at-1 Horner add degree1，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y at-1 Horner multiply before degree1，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 initial y′ Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 initial y′ Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 initial y Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 initial y Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 initial y Horner add degree1，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 initial y Horner multiply before degree1，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y″ coefficient at degree0，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y′ coefficient at degree1，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y′ coefficient at degree0，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([-4, -2, 1], 1, 0, 0, 3, [-1, 0, 1], [[-1, -1, -4, 2, -1, 否], [0, -4, -2, 2, -1, 否], [1, -5, 0, 2, -1, 否]], 1, -5, 0, -5, 0, 是, 是, 否)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。