第 2469 題：有限線性規劃候選

原題與已知條件

完整明示有限候選網格。操作=lp-finite-optimum；資料={"points":[[0,0],[1,2],[2,3],[0,2]],"constraints":[[-1,0,0],[0,-1,0],[1,1,7]],"objective":[1,2],"direction":"max"}。請依 [constraints,objective,direction,point_rows,best,arg_indices] 欄序回答。

• G001 — 完整明示有限候選網格。操作=lp-finite-optimum；資料={"points":[[0,0],[1,2],[2,3],[0,2]],"constraints":[[-1,0,0],[0,-1,0],[1,1,7]],"objective":[1,2],"direction":"max"}。請依 [constraints,objective,direction,point_rows,best,arg_indices] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-linear-programming

逐步推導

explicit finite candidate grid and linear rows a·x+b·y≤c

keep candidate-grid optimization separate from continuous LP

[[0, 0], [1, 2], [2, 3], [0, 2]]

deduplicated canonical indexed points=[[0, 0, 0], [1, 0, 2], [2, 1, 2], [3, 2, 3]]

point0 objective first term := mul(1, 0)

point0 objective first term = 0

point0 objective second term := mul(2, 0)

point0 objective second term = 0

point0 objective := sum(0, 0)

point0 objective = 0

point0 row0 a·x := mul(-1, 0)

point0 row0 a·x = 0

point0 row0 b·y := mul(0, 0)

point0 row0 b·y = 0

point0 row0 LHS := sum(0, 0)

point0 row0 LHS = 0

row0: 0≤0

satisfied=是

point0 row1 a·x := mul(0, 0)

point0 row1 a·x = 0

point0 row1 b·y := mul(-1, 0)

point0 row1 b·y = 0

point0 row1 LHS := sum(0, 0)

point0 row1 LHS = 0

row1: 0≤0

satisfied=是

point0 row2 a·x := mul(1, 0)

point0 row2 a·x = 0

point0 row2 b·y := mul(1, 0)

point0 row2 b·y = 0

point0 row2 LHS := sum(0, 0)

point0 row2 LHS = 0

row2: 0≤7

satisfied=是

point1 objective first term := mul(1, 0)

point1 objective first term = 0

point1 objective second term := mul(2, 2)

point1 objective second term = 4

point1 objective := sum(0, 4)

point1 objective = 4

point1 row0 a·x := mul(-1, 0)

point1 row0 a·x = 0

point1 row0 b·y := mul(0, 2)

point1 row0 b·y = 0

point1 row0 LHS := sum(0, 0)

point1 row0 LHS = 0

row0: 0≤0

satisfied=是

point1 row1 a·x := mul(0, 0)

point1 row1 a·x = 0

point1 row1 b·y := mul(-1, 2)

point1 row1 b·y = -2

point1 row1 LHS := sum(0, -2)

point1 row1 LHS = -2

row1: -2≤0

satisfied=是

point1 row2 a·x := mul(1, 0)

point1 row2 a·x = 0

point1 row2 b·y := mul(1, 2)

point1 row2 b·y = 2

point1 row2 LHS := sum(0, 2)

point1 row2 LHS = 2

row2: 2≤7

satisfied=是

point2 objective first term := mul(1, 1)

point2 objective first term = 1

point2 objective second term := mul(2, 2)

point2 objective second term = 4

point2 objective := sum(1, 4)

point2 objective = 5

point2 row0 a·x := mul(-1, 1)

point2 row0 a·x = -1

point2 row0 b·y := mul(0, 2)

point2 row0 b·y = 0

point2 row0 LHS := sum(-1, 0)

point2 row0 LHS = -1

row0: -1≤0

satisfied=是

point2 row1 a·x := mul(0, 1)

point2 row1 a·x = 0

point2 row1 b·y := mul(-1, 2)

point2 row1 b·y = -2

point2 row1 LHS := sum(0, -2)

point2 row1 LHS = -2

row1: -2≤0

satisfied=是

point2 row2 a·x := mul(1, 1)

point2 row2 a·x = 1

point2 row2 b·y := mul(1, 2)

point2 row2 b·y = 2

point2 row2 LHS := sum(1, 2)

point2 row2 LHS = 3

row2: 3≤7

satisfied=是

point3 objective first term := mul(1, 2)

point3 objective first term = 2

point3 objective second term := mul(2, 3)

point3 objective second term = 6

point3 objective := sum(2, 6)

point3 objective = 8

point3 row0 a·x := mul(-1, 2)

point3 row0 a·x = -2

point3 row0 b·y := mul(0, 3)

point3 row0 b·y = 0

point3 row0 LHS := sum(-2, 0)

point3 row0 LHS = -2

row0: -2≤0

satisfied=是

point3 row1 a·x := mul(0, 2)

point3 row1 a·x = 0

point3 row1 b·y := mul(-1, 3)

point3 row1 b·y = -3

point3 row1 LHS := sum(0, -3)

point3 row1 LHS = -3

row1: -3≤0

satisfied=是

point3 row2 a·x := mul(1, 2)

point3 row2 a·x = 2

point3 row2 b·y := mul(1, 3)

point3 row2 b·y = 3

point3 row2 LHS := sum(2, 3)

point3 row2 LHS = 5

row2: 5≤7

satisfied=是

direction=max; feasible objective rows=[[0, 0, 0, [是, 是, 是], 是, 0], [1, 0, 2, [是, 是, 是], 是, 4], [2, 1, 2, [是, 是, 是], 是, 5], [3, 2, 3, [是, 是, 是], 是, 8]]

best among listed feasible points=8; all attaining indices=[3]

finite candidates have been completely audited

no unlisted-point or general-LP optimality claim

逐步反向核對

• S064 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S063 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S062 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S061 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point3 row2 LHS，不以小數近似替代。
• S060 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point3 row2 b·y，不以小數近似替代。
• S059 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point3 row2 a·x，不以小數近似替代。
• S058 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point3 row1 LHS，不以小數近似替代。
• S056 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point3 row1 b·y，不以小數近似替代。
• S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point3 row1 a·x，不以小數近似替代。
• S054 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point3 row0 LHS，不以小數近似替代。
• S052 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point3 row0 b·y，不以小數近似替代。
• S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point3 row0 a·x，不以小數近似替代。
• S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point3 objective，不以小數近似替代。
• S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point3 objective second term，不以小數近似替代。
• S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point3 objective first term，不以小數近似替代。
• S047 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point2 row2 LHS，不以小數近似替代。
• S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point2 row2 b·y，不以小數近似替代。
• S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point2 row2 a·x，不以小數近似替代。
• S043 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point2 row1 LHS，不以小數近似替代。
• S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point2 row1 b·y，不以小數近似替代。
• S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point2 row1 a·x，不以小數近似替代。
• S039 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point2 row0 LHS，不以小數近似替代。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point2 row0 b·y，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point2 row0 a·x，不以小數近似替代。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point2 objective，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point2 objective second term，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point2 objective first term，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point1 row2 LHS，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point1 row2 b·y，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point1 row2 a·x，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point1 row1 LHS，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point1 row1 b·y，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point1 row1 a·x，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point1 row0 LHS，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point1 row0 b·y，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point1 row0 a·x，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point1 objective，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point1 objective second term，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point1 objective first term，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point0 row2 LHS，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point0 row2 b·y，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point0 row2 a·x，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point0 row1 LHS，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point0 row1 b·y，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point0 row1 a·x，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point0 row0 LHS，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point0 row0 b·y，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point0 row0 a·x，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point0 objective，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point0 objective second term，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point0 objective first term，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([[-1, 0, 0], [0, -1, 0], [1, 1, 7]], [1, 2], max, [[0, 0, 0, [是, 是, 是], 是, 0], [1, 0, 2, [是, 是, 是], 是, 4], [2, 1, 2, [是, 是, 是], 是, 5], [3, 2, 3, [是, 是, 是], 是, 8]], 8, [3])

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。