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第 29376 題：完整有限度量表

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

返回所在分頁 147

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R0057-29376 · q-20261013-advance-20261022-r06-metric-space-0051

原題與已知條件

完整有限距離表。操作=metric-triangle-audit；資料={"n":4,"distances":[[0,1,3,6],[1,0,2,5],[3,2,0,3],[6,5,3,0]]}。請依 [n,distances,bad_triples,triangle] 欄序回答。

  • G001 — 完整有限距離表。操作=metric-triangle-audit；資料={"n":4,"distances":[[0,1,3,6],[1,0,2,5],[3,2,0,3],[6,5,3,0]]}。請依 [n,distances,bad_triples,triangle] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

source roles = [qf-str22-metric-triangle-audit, metric-triangle-audit]

操作後

derived = [[n, distances, bad_triples, triangle]]

條件：無

此銀行依原tuple欄序與hyphen operation。fraction約分、正分母且整數省略/1，與前輪舊契約不同；不改原中英快照或題意。

步驟識別與依賴

規則：STR22_exact_interface_and_source_ORDERED_tuple_roles · 依賴：G001

S002 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i0 j0 k0 := sum(0, 0)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i0 j0 k0 = 0

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001

S003 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i0 j0 k1 := sum(0, 1)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i0 j0 k1 = 1

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002

S004 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i0 j0 k2 := sum(0, 3)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i0 j0 k2 = 3

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003

S005 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i0 j0 k3 := sum(0, 6)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i0 j0 k3 = 6

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

source roles = [4, [[0, 1, 3, 6], [1, 0, 2, 5], [3, 2, 0, 3], [6, 5, 3, 0]], 0, 0]

操作後

derived = [[0, 1, 3, 6], [0, 1, 3, 6], []]

條件：無

對固定(i,j)逐全部k比較d(i,k)<=d(i,j)+d(j,k)，含重複點；保每個失敗k，不只測unordered distinct triangles。

步驟識別與依賴

規則：Metric_ALL_third_points_EACH_ordered_pair_triangle · 依賴：G001, S005

S007 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i0 j1 k0 := sum(1, 1)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i0 j1 k0 = 2

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006

S008 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i0 j1 k1 := sum(1, 0)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i0 j1 k1 = 1

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007

S009 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i0 j1 k2 := sum(1, 2)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i0 j1 k2 = 3

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008

S010 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i0 j1 k3 := sum(1, 5)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i0 j1 k3 = 6

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

source roles = [4, [[0, 1, 3, 6], [1, 0, 2, 5], [3, 2, 0, 3], [6, 5, 3, 0]], 0, 1]

操作後

derived = [[0, 1, 3, 6], [2, 1, 3, 6], []]

條件：無

對固定(i,j)逐全部k比較d(i,k)<=d(i,j)+d(j,k)，含重複點；保每個失敗k，不只測unordered distinct triangles。

步驟識別與依賴

規則：Metric_ALL_third_points_EACH_ordered_pair_triangle · 依賴：G001, S010

S012 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i0 j2 k0 := sum(3, 3)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i0 j2 k0 = 6

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011

S013 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i0 j2 k1 := sum(3, 2)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i0 j2 k1 = 5

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012

S014 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i0 j2 k2 := sum(3, 0)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i0 j2 k2 = 3

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013

S015 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i0 j2 k3 := sum(3, 3)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i0 j2 k3 = 6

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014

S016 · implies

操作前

source roles = [4, [[0, 1, 3, 6], [1, 0, 2, 5], [3, 2, 0, 3], [6, 5, 3, 0]], 0, 2]

操作後

derived = [[0, 1, 3, 6], [6, 5, 3, 6], []]

條件：無

對固定(i,j)逐全部k比較d(i,k)<=d(i,j)+d(j,k)，含重複點；保每個失敗k，不只測unordered distinct triangles。

步驟識別與依賴

規則：Metric_ALL_third_points_EACH_ordered_pair_triangle · 依賴：G001, S015

S017 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i0 j3 k0 := sum(6, 6)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i0 j3 k0 = 12

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016

S018 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i0 j3 k1 := sum(6, 5)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i0 j3 k1 = 11

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017

S019 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i0 j3 k2 := sum(6, 3)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i0 j3 k2 = 9

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018

S020 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i0 j3 k3 := sum(6, 0)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i0 j3 k3 = 6

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019

S021 · implies

操作前

source roles = [4, [[0, 1, 3, 6], [1, 0, 2, 5], [3, 2, 0, 3], [6, 5, 3, 0]], 0, 3]

操作後

derived = [[0, 1, 3, 6], [12, 11, 9, 6], []]

條件：無

對固定(i,j)逐全部k比較d(i,k)<=d(i,j)+d(j,k)，含重複點；保每個失敗k，不只測unordered distinct triangles。

步驟識別與依賴

規則：Metric_ALL_third_points_EACH_ordered_pair_triangle · 依賴：G001, S020

S022 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i1 j0 k0 := sum(1, 0)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i1 j0 k0 = 1

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021

S023 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i1 j0 k1 := sum(1, 1)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i1 j0 k1 = 2

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022

S024 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i1 j0 k2 := sum(1, 3)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i1 j0 k2 = 4

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023

S025 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i1 j0 k3 := sum(1, 6)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i1 j0 k3 = 7

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024

S026 · implies

操作前

source roles = [4, [[0, 1, 3, 6], [1, 0, 2, 5], [3, 2, 0, 3], [6, 5, 3, 0]], 1, 0]

操作後

derived = [[1, 0, 2, 5], [1, 2, 4, 7], []]

條件：無

對固定(i,j)逐全部k比較d(i,k)<=d(i,j)+d(j,k)，含重複點；保每個失敗k，不只測unordered distinct triangles。

步驟識別與依賴

規則：Metric_ALL_third_points_EACH_ordered_pair_triangle · 依賴：G001, S025

S027 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i1 j1 k0 := sum(0, 1)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i1 j1 k0 = 1

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026

S028 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i1 j1 k1 := sum(0, 0)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i1 j1 k1 = 0

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027

S029 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i1 j1 k2 := sum(0, 2)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i1 j1 k2 = 2

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028

S030 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i1 j1 k3 := sum(0, 5)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i1 j1 k3 = 5

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029

S031 · implies

操作前

source roles = [4, [[0, 1, 3, 6], [1, 0, 2, 5], [3, 2, 0, 3], [6, 5, 3, 0]], 1, 1]

操作後

derived = [[1, 0, 2, 5], [1, 0, 2, 5], []]

條件：無

對固定(i,j)逐全部k比較d(i,k)<=d(i,j)+d(j,k)，含重複點；保每個失敗k，不只測unordered distinct triangles。

步驟識別與依賴

規則：Metric_ALL_third_points_EACH_ordered_pair_triangle · 依賴：G001, S030

S032 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i1 j2 k0 := sum(2, 3)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i1 j2 k0 = 5

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031

S033 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i1 j2 k1 := sum(2, 2)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i1 j2 k1 = 4

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032

S034 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i1 j2 k2 := sum(2, 0)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i1 j2 k2 = 2

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033

S035 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i1 j2 k3 := sum(2, 3)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i1 j2 k3 = 5

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034

S036 · implies

操作前

source roles = [4, [[0, 1, 3, 6], [1, 0, 2, 5], [3, 2, 0, 3], [6, 5, 3, 0]], 1, 2]

操作後

derived = [[1, 0, 2, 5], [5, 4, 2, 5], []]

條件：無

對固定(i,j)逐全部k比較d(i,k)<=d(i,j)+d(j,k)，含重複點；保每個失敗k，不只測unordered distinct triangles。

步驟識別與依賴

規則：Metric_ALL_third_points_EACH_ordered_pair_triangle · 依賴：G001, S035

S037 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i1 j3 k0 := sum(5, 6)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i1 j3 k0 = 11

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036

S038 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i1 j3 k1 := sum(5, 5)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i1 j3 k1 = 10

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S037

S039 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i1 j3 k2 := sum(5, 3)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i1 j3 k2 = 8

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038

S040 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i1 j3 k3 := sum(5, 0)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i1 j3 k3 = 5

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S039

S041 · implies

操作前

source roles = [4, [[0, 1, 3, 6], [1, 0, 2, 5], [3, 2, 0, 3], [6, 5, 3, 0]], 1, 3]

操作後

derived = [[1, 0, 2, 5], [11, 10, 8, 5], []]

條件：無

對固定(i,j)逐全部k比較d(i,k)<=d(i,j)+d(j,k)，含重複點；保每個失敗k，不只測unordered distinct triangles。

步驟識別與依賴

規則：Metric_ALL_third_points_EACH_ordered_pair_triangle · 依賴：G001, S040

S042 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i2 j0 k0 := sum(3, 0)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i2 j0 k0 = 3

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S041

S043 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i2 j0 k1 := sum(3, 1)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i2 j0 k1 = 4

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S042

S044 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i2 j0 k2 := sum(3, 3)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i2 j0 k2 = 6

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S043

S045 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i2 j0 k3 := sum(3, 6)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i2 j0 k3 = 9

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S044

S046 · implies

操作前

source roles = [4, [[0, 1, 3, 6], [1, 0, 2, 5], [3, 2, 0, 3], [6, 5, 3, 0]], 2, 0]

操作後

derived = [[3, 2, 0, 3], [3, 4, 6, 9], []]

條件：無

對固定(i,j)逐全部k比較d(i,k)<=d(i,j)+d(j,k)，含重複點；保每個失敗k，不只測unordered distinct triangles。

步驟識別與依賴

規則：Metric_ALL_third_points_EACH_ordered_pair_triangle · 依賴：G001, S045

S047 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i2 j1 k0 := sum(2, 1)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i2 j1 k0 = 3

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S046

S048 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i2 j1 k1 := sum(2, 0)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i2 j1 k1 = 2

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S047

S049 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i2 j1 k2 := sum(2, 2)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i2 j1 k2 = 4

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S048

S050 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i2 j1 k3 := sum(2, 5)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i2 j1 k3 = 7

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S049

S051 · implies

操作前

source roles = [4, [[0, 1, 3, 6], [1, 0, 2, 5], [3, 2, 0, 3], [6, 5, 3, 0]], 2, 1]

操作後

derived = [[3, 2, 0, 3], [3, 2, 4, 7], []]

條件：無

對固定(i,j)逐全部k比較d(i,k)<=d(i,j)+d(j,k)，含重複點；保每個失敗k，不只測unordered distinct triangles。

步驟識別與依賴

規則：Metric_ALL_third_points_EACH_ordered_pair_triangle · 依賴：G001, S050

S052 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i2 j2 k0 := sum(0, 3)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i2 j2 k0 = 3

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S051

S053 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i2 j2 k1 := sum(0, 2)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i2 j2 k1 = 2

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S052

S054 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i2 j2 k2 := sum(0, 0)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i2 j2 k2 = 0

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S053

S055 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i2 j2 k3 := sum(0, 3)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i2 j2 k3 = 3

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S054

S056 · implies

操作前

source roles = [4, [[0, 1, 3, 6], [1, 0, 2, 5], [3, 2, 0, 3], [6, 5, 3, 0]], 2, 2]

操作後

derived = [[3, 2, 0, 3], [3, 2, 0, 3], []]

條件：無

對固定(i,j)逐全部k比較d(i,k)<=d(i,j)+d(j,k)，含重複點；保每個失敗k，不只測unordered distinct triangles。

步驟識別與依賴

規則：Metric_ALL_third_points_EACH_ordered_pair_triangle · 依賴：G001, S055

S057 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i2 j3 k0 := sum(3, 6)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i2 j3 k0 = 9

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S056

S058 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i2 j3 k1 := sum(3, 5)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i2 j3 k1 = 8

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S057

S059 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i2 j3 k2 := sum(3, 3)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i2 j3 k2 = 6

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S058

S060 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i2 j3 k3 := sum(3, 0)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i2 j3 k3 = 3

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S059

S061 · implies

操作前

source roles = [4, [[0, 1, 3, 6], [1, 0, 2, 5], [3, 2, 0, 3], [6, 5, 3, 0]], 2, 3]

操作後

derived = [[3, 2, 0, 3], [9, 8, 6, 3], []]

條件：無

對固定(i,j)逐全部k比較d(i,k)<=d(i,j)+d(j,k)，含重複點；保每個失敗k，不只測unordered distinct triangles。

步驟識別與依賴

規則：Metric_ALL_third_points_EACH_ordered_pair_triangle · 依賴：G001, S060

S062 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i3 j0 k0 := sum(6, 0)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i3 j0 k0 = 6

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S061

S063 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i3 j0 k1 := sum(6, 1)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i3 j0 k1 = 7

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S062

S064 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i3 j0 k2 := sum(6, 3)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i3 j0 k2 = 9

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S063

S065 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i3 j0 k3 := sum(6, 6)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i3 j0 k3 = 12

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S064

S066 · implies

操作前

source roles = [4, [[0, 1, 3, 6], [1, 0, 2, 5], [3, 2, 0, 3], [6, 5, 3, 0]], 3, 0]

操作後

derived = [[6, 5, 3, 0], [6, 7, 9, 12], []]

條件：無

對固定(i,j)逐全部k比較d(i,k)<=d(i,j)+d(j,k)，含重複點；保每個失敗k，不只測unordered distinct triangles。

步驟識別與依賴

規則：Metric_ALL_third_points_EACH_ordered_pair_triangle · 依賴：G001, S065

S067 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i3 j1 k0 := sum(5, 1)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i3 j1 k0 = 6

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S066

S068 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i3 j1 k1 := sum(5, 0)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i3 j1 k1 = 5

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S067

S069 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i3 j1 k2 := sum(5, 2)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i3 j1 k2 = 7

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S068

S070 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i3 j1 k3 := sum(5, 5)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i3 j1 k3 = 10

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S069

S071 · implies

操作前

source roles = [4, [[0, 1, 3, 6], [1, 0, 2, 5], [3, 2, 0, 3], [6, 5, 3, 0]], 3, 1]

操作後

derived = [[6, 5, 3, 0], [6, 5, 7, 10], []]

條件：無

對固定(i,j)逐全部k比較d(i,k)<=d(i,j)+d(j,k)，含重複點；保每個失敗k，不只測unordered distinct triangles。

步驟識別與依賴

規則：Metric_ALL_third_points_EACH_ordered_pair_triangle · 依賴：G001, S070

S072 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i3 j2 k0 := sum(3, 3)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i3 j2 k0 = 6

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S071

S073 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i3 j2 k1 := sum(3, 2)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i3 j2 k1 = 5

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S072

S074 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i3 j2 k2 := sum(3, 0)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i3 j2 k2 = 3

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S073

S075 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i3 j2 k3 := sum(3, 3)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i3 j2 k3 = 6

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S074

S076 · implies

操作前

source roles = [4, [[0, 1, 3, 6], [1, 0, 2, 5], [3, 2, 0, 3], [6, 5, 3, 0]], 3, 2]

操作後

derived = [[6, 5, 3, 0], [6, 5, 3, 6], []]

條件：無

對固定(i,j)逐全部k比較d(i,k)<=d(i,j)+d(j,k)，含重複點；保每個失敗k，不只測unordered distinct triangles。

步驟識別與依賴

規則：Metric_ALL_third_points_EACH_ordered_pair_triangle · 依賴：G001, S075

S077 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i3 j3 k0 := sum(0, 6)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i3 j3 k0 = 6

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S076

S078 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i3 j3 k1 := sum(0, 5)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i3 j3 k1 = 5

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S077

S079 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i3 j3 k2 := sum(0, 3)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i3 j3 k2 = 3

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S078

S080 · calculation

操作前

Metric ORIGINAL via sum i3 j3 k3 := sum(0, 0)

操作後

Metric ORIGINAL via sum i3 j3 k3 = 0

條件：無

精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S079

S081 · implies

操作前

source roles = [4, [[0, 1, 3, 6], [1, 0, 2, 5], [3, 2, 0, 3], [6, 5, 3, 0]], 3, 3]

操作後

derived = [[6, 5, 3, 0], [6, 5, 3, 0], []]

條件：無

對固定(i,j)逐全部k比較d(i,k)<=d(i,j)+d(j,k)，含重複點；保每個失敗k，不只測unordered distinct triangles。

步驟識別與依賴

規則：Metric_ALL_third_points_EACH_ordered_pair_triangle · 依賴：G001, S080

S082 · implies

操作前

source roles = [4, [[0, 1, 3, 6], [1, 0, 2, 5], [3, 2, 0, 3], [6, 5, 3, 0]]]

操作後

derived = [[], 是]

條件：無

完整n³原ordered triples的失敗按nested i,j,k升序；沒有失敗才是這個table的triangle義務，不自動補nonneg／separation／symmetry。

步驟識別與依賴

規則：Metric_ALL_bad_triangles_nested_order_not_only_first · 依賴：G001, S081

逐步反向核對

  • S082 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。
  • S081 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。
  • S080 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i3 j3 k3，不以小數近似替代。
  • S079 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i3 j3 k2，不以小數近似替代。
  • S078 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i3 j3 k1，不以小數近似替代。
  • S077 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i3 j3 k0，不以小數近似替代。
  • S076 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。
  • S075 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i3 j2 k3，不以小數近似替代。
  • S074 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i3 j2 k2，不以小數近似替代。
  • S073 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i3 j2 k1，不以小數近似替代。
  • S072 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i3 j2 k0，不以小數近似替代。
  • S071 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。
  • S070 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i3 j1 k3，不以小數近似替代。
  • S069 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i3 j1 k2，不以小數近似替代。
  • S068 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i3 j1 k1，不以小數近似替代。
  • S067 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i3 j1 k0，不以小數近似替代。
  • S066 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。
  • S065 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i3 j0 k3，不以小數近似替代。
  • S064 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i3 j0 k2，不以小數近似替代。
  • S063 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i3 j0 k1，不以小數近似替代。
  • S062 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i3 j0 k0，不以小數近似替代。
  • S061 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。
  • S060 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i2 j3 k3，不以小數近似替代。
  • S059 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i2 j3 k2，不以小數近似替代。
  • S058 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i2 j3 k1，不以小數近似替代。
  • S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i2 j3 k0，不以小數近似替代。
  • S056 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。
  • S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i2 j2 k3，不以小數近似替代。
  • S054 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i2 j2 k2，不以小數近似替代。
  • S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i2 j2 k1，不以小數近似替代。
  • S052 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i2 j2 k0，不以小數近似替代。
  • S051 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。
  • S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i2 j1 k3，不以小數近似替代。
  • S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i2 j1 k2，不以小數近似替代。
  • S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i2 j1 k1，不以小數近似替代。
  • S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i2 j1 k0，不以小數近似替代。
  • S046 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。
  • S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i2 j0 k3，不以小數近似替代。
  • S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i2 j0 k2，不以小數近似替代。
  • S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i2 j0 k1，不以小數近似替代。
  • S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i2 j0 k0，不以小數近似替代。
  • S041 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。
  • S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i1 j3 k3，不以小數近似替代。
  • S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i1 j3 k2，不以小數近似替代。
  • S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i1 j3 k1，不以小數近似替代。
  • S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i1 j3 k0，不以小數近似替代。
  • S036 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。
  • S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i1 j2 k3，不以小數近似替代。
  • S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i1 j2 k2，不以小數近似替代。
  • S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i1 j2 k1，不以小數近似替代。
  • S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i1 j2 k0，不以小數近似替代。
  • S031 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。
  • S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i1 j1 k3，不以小數近似替代。
  • S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i1 j1 k2，不以小數近似替代。
  • S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i1 j1 k1，不以小數近似替代。
  • S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i1 j1 k0，不以小數近似替代。
  • S026 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。
  • S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i1 j0 k3，不以小數近似替代。
  • S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i1 j0 k2，不以小數近似替代。
  • S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i1 j0 k1，不以小數近似替代。
  • S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i1 j0 k0，不以小數近似替代。
  • S021 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。
  • S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i0 j3 k3，不以小數近似替代。
  • S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i0 j3 k2，不以小數近似替代。
  • S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i0 j3 k1，不以小數近似替代。
  • S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i0 j3 k0，不以小數近似替代。
  • S016 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。
  • S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i0 j2 k3，不以小數近似替代。
  • S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i0 j2 k2，不以小數近似替代。
  • S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i0 j2 k1，不以小數近似替代。
  • S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i0 j2 k0，不以小數近似替代。
  • S011 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。
  • S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i0 j1 k3，不以小數近似替代。
  • S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i0 j1 k2，不以小數近似替代。
  • S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i0 j1 k1，不以小數近似替代。
  • S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i0 j1 k0，不以小數近似替代。
  • S006 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。
  • S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i0 j0 k3，不以小數近似替代。
  • S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i0 j0 k2，不以小數近似替代。
  • S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i0 j0 k1，不以小數近似替代。
  • S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Metric ORIGINAL via sum i0 j0 k0，不以小數近似替代。
  • S001 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。

結論

(4, [[0, 1, 3, 6], [1, 0, 2, 5], [3, 2, 0, 3], [6, 5, 3, 0]], [], 是)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: f1ebb32acc0e942f174bc0c4b912975a24097a5dc6d1b76721963ec886a77a2d
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  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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