第 10381 題：複數模與共軛

原題與已知條件

複數以整數有序對表示。操作=complexmod-product-conjugate；資料={"value":[-7,2]}。請依 [value,conjugate,product,modulus_square] 欄序回答。

• G001 — 複數以整數有序對表示。操作=complexmod-product-conjugate；資料={"value":[-7,2]}。請依 [value,conjugate,product,modulus_square] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-complex-modulus-conjugate

逐步推導

declared complex ordered pair=[-7, 2]

exact integer coefficients in the algebra with i^2=-1

given value negate imaginary coefficient := sub(0, 2)

given value negate imaginary coefficient = -2

given value:original ordered pair=[-7, 2]

conjugate pair=[-7, -2]

value times conjugate real-real := mul(-7, -7)

value times conjugate real-real = 49

value times conjugate imaginary-imaginary := mul(2, -2)

value times conjugate imaginary-imaginary = -4

value times conjugate real coefficient := sub(49, -4)

value times conjugate real coefficient = 53

value times conjugate real-imaginary := mul(-7, -2)

value times conjugate real-imaginary = 14

value times conjugate imaginary-real := mul(2, -7)

value times conjugate imaginary-real = -14

value times conjugate imaginary coefficient := sum(14, -14)

value times conjugate imaginary coefficient = 0

value times conjugate:left=[-7, 2];right=[-7, -2];i^2=-1

complex product=[53, 0]

real coefficient squared := mul(-7, -7)

real coefficient squared = 49

imaginary coefficient squared := mul(2, 2)

imaginary coefficient squared = 4

exact squared modulus := sum(49, 4)

exact squared modulus = 53

value=[-7, 2];real square=49;imaginary square=4

modulus squared=53

computed product=[53, 0];squared modulus=53

product is real embedding [modulus squared,0]

逐步反向核對

• S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 exact squared modulus，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 imaginary coefficient squared，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 real coefficient squared，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 value times conjugate imaginary coefficient，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 value times conjugate imaginary-real，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 value times conjugate real-imaginary，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 value times conjugate real coefficient，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 value times conjugate imaginary-imaginary，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 value times conjugate real-real，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 given value negate imaginary coefficient，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([-7, 2], [-7, -2], [53, 0], 53)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。