R0020-10869 · q-20261013-advance-20261023-r02-linear-combination-span-0019
固定維度與明示有限生成族。操作=span-weighted-sum；資料={"vectors":[[1,0],[0,1],[1,1]],"coefficients":[6,1,1]}。請依 [vectors,coefficients,sum] 欄序回答。
G001 — 固定維度與明示有限生成族。操作=span-weighted-sum；資料={"vectors":[[1,0],[0,1],[1,1]],"coefficients":[6,1,1]}。請依 [vectors,coefficients,sum] 欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
fixed real coordinate space;span uses all finite real linear combinations
操作後
given coefficient witness and existence of some coefficients are separate
條件：無
span量化所有有限實係數組合；本題的整數／有理資料是明示切片，一個指定見證失敗不等於所有係數都失敗。
規則：span_quantifier_and_witness_scope · 依賴：G001
操作前
original ordered generators=[[1, 0], [0, 1], [1, 1]];aligned coefficients=[6, 1, 1]
操作後
fixed coordinate dimension=2;generator duplicates/order retained
條件：無
每個係數只配自己的生成元，保留重複與順序；不要依semantic身份排序或去重，亦不把有限組合換成無窮級數。
規則：span_generator_coefficient_pairing · 依賴：G001, S001
操作前
generator0 coordinate0 contribution := mul(6, 1)
操作後
generator0 coordinate0 contribution = 6
條件：無
按本步原始角色與操作數精確計算，不靠浮點近似或重排原資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002
操作前
generator1 coordinate0 contribution := mul(1, 0)
操作後
generator1 coordinate0 contribution = 0
條件：無
按本步原始角色與操作數精確計算，不靠浮點近似或重排原資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003
操作前
generator2 coordinate0 contribution := mul(1, 1)
操作後
generator2 coordinate0 contribution = 1
條件：無
按本步原始角色與操作數精確計算，不靠浮點近似或重排原資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004
操作前
weighted coordinate0 complete sum := sum(6, 0, 1)
操作後
weighted coordinate0 complete sum = 7
條件：無
按本步原始角色與操作數精確計算，不靠浮點近似或重排原資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005
操作前
generator0 coordinate1 contribution := mul(6, 0)
操作後
generator0 coordinate1 contribution = 0
條件：無
按本步原始角色與操作數精確計算，不靠浮點近似或重排原資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006
操作前
generator1 coordinate1 contribution := mul(1, 1)
操作後
generator1 coordinate1 contribution = 1
條件：無
按本步原始角色與操作數精確計算，不靠浮點近似或重排原資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007
操作前
generator2 coordinate1 contribution := mul(1, 1)
操作後
generator2 coordinate1 contribution = 1
條件：無
按本步原始角色與操作數精確計算，不靠浮點近似或重排原資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008
操作前
weighted coordinate1 complete sum := sum(0, 1, 1)
操作後
weighted coordinate1 complete sum = 2
條件：無
按本步原始角色與操作數精確計算，不靠浮點近似或重排原資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009
操作前
all ordered weighted coordinates=[7, 2]
操作後
finite combination=[7, 2]
條件：無
同一座標內把全部生成元的貢獻加完，不取內積或長度代替向量。
規則：span_complete_componentwise_reconstruction · 依賴：G001, S010
S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 weighted coordinate1 complete sum，不以小數近似替代。S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 generator2 coordinate1 contribution，不以小數近似替代。S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 generator1 coordinate1 contribution，不以小數近似替代。S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 generator0 coordinate1 contribution，不以小數近似替代。S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 weighted coordinate0 complete sum，不以小數近似替代。S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 generator2 coordinate0 contribution，不以小數近似替代。S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 generator1 coordinate0 contribution，不以小數近似替代。S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 generator0 coordinate0 contribution，不以小數近似替代。S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。([[1, 0], [0, 1], [1, 1]], [6, 1, 1], [7, 2])
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: b8536b4cca62f2a47e68f66cae5e414f4c5ce09d3edfaf84913b5f783f422c6fcandidate record SHA-256: 43d16363a7d5a127d6cd32571c53a43e00a3bc5774d2c022e9383175820a13e7semantic review receipt SHA-256: b4c47938fd38085d44967226cfa8337d61334455472e7307c60d3a488cef598fquestion-first witness SHA-256: 3c23baa97a5933bc07b44f2257017ef4e845bf1429bd6f5381410681c43b97e4Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED